Рис. 10.11. Построение графика выходной величины нелинейного элемента

Из выражения (10.21) найдем

sincuf = ст/А.

Дифференцируя выражение (10.24), получаем dsinat /dt = acosat = (dc!)/dt)/ А

cos (Ot = (da / dt) /(шА). Подставив соотношения (10.24) и (10.25) (10.22) и учитывая, что и я Ui, можем записать: и = gio /A + (bi/ шА) da/dt.

(10.24)

(10.25) уравнение

Если на вход нелинейного элемента системы (см. рис. 10.8) подать синусоидально изменяющийся сигнал

CT = Asin(Bf, (10.21)

где А - амплитуда входного сигнала, то изменение его выходной величины будет функцией а:

и = f(a) = f(Asin<ut).

Эта функция, зависящая от статической характеристики нелинейного элемента, может быть представлена в виде аналитической либо графической зависимости. Так, например, для трехпозиционного реле статическая характеристика имеет вид, показанный на рис.10.11, а. Здесь и = - выходное (коммутируемое) напряжение; Ос, Oq - входные величины, соответствующие срабатыванию и отпусканию. При подаче на вход синусоидального сигнала зависимость выходного сигнала от времени может быть получена графическим построением, показанным на рис.10.11, б. Полученная периодическая функция и может быть разложена в ряд Фурье. В общем случае можно записать:

и = gl sinat + g2Sin2(ot +... + &j cosot + &2 cos2(ot

Тогда первая гармоника периодической величины выхода нелинейного элемента

"1 = 1 sin + &1 cos , (10.22)

где gl и bi определяются как коэффициенты Фурье: J 271 J 2л

gl =- lf{Asinat)sin(i)tdwt; bi =- jf(Asmat)cos(i>tdat. (10.23)

или Ки) = g(A,(i)) + b(A,ю) exp(yarctgb(A,ш)/g{A,ш)).

Выражения (10.27) представляют описывающую функцию нелинейного элемента, под которой понимают отношение комплексной амплитуды иЦа) основной составляющей выходного

сигнала к амплитуде a(ja) синусоидального входного сигнала.

В случае симметричных однозначных характеристик нелинейных элементов в формулах (10.27) следует положить НА, ja) = 0. Описывающая функция в этом случае будет иметь вид

K(ja) = g(A,a). (10.28)

В табл. 10.1 приведены описывающие функции, вычисленные по формулам (10.27) и (10,28) с учетом равенств (10.23).

Пусть передаточная функция линейной части системы (см. рис.10.8)

=вых/" = ад/ад,

где D(p), Gip) - полиномы числителя и знаменателя передаточной функции. Тогда передаточная функция разомкнутой системы

W(p) = K(p)K(p),

а замкнутой

K(p) = Kjp)/a + w{p)).

Характеристическое уравнение замкнутой системы определяется из выражения

1 + W(p) = 1 + D(p)K{p)/G(p) = О (10.29)

и имеет вид

G{p) + D(p)Kip) = 0. (10.30)

Полученные методом гармонической линеаризации соотношения позволяют применить к исследованию динамических свойств нелинейных систем методы линейной теории автоматического управления, в том числе и частотные методы.

Полученное выражение представляет приближенное линейное дифференциальное уравнение нелинейного элемента. Используя преобразование Лапласа, найдем передаточную функцию нелинейного элемента:

Кп(р) = и/а = giA,й) -i- НА,V, (10.26)

где g(A, (й) = gi/A; НА, ш) = /(&А).

Подставив в формулу (10.26) вместо р значение ую, получим

яОю) = / (М) = S(A, ю) + JHA, ю) (10.27)

Хвых

"У at

•Ау + By ехр /ух ,если А > h; Ау =(ai -ai)4k/n, где йу = к/ А , а = 1- 2ау ; By =(п/2- arcsin а +

+ 2a/ai -afk/n; Уу = arctgAj / By

Идеальное (двух-позиционное) реле

Насыщение, ограничение

4ft/(TiA)

Хвых.

2л Mf

ft/, если Л i il;

(2ft/ / 7:)(а + 0,5 sin 2а),

А > В;

а = arcsin ЬI А; ftjv = AXgix