Зона нечувствительности

Хвых

d Хвх

О, если А <d ;

(2kfj / 7i)(7i / 2 - а - 0,5 sin 2а),

если А> d; а = arcsin d / А

Ступенчатость

«102

2п Cut

О, если А й АЬ; (2ДЛ /(7)) X

X xV4-(2i-l)(A&/A)2 ,

( = 0

если А > Aii;

aj = arcsin ДЬ/ Л ;

а2 = arcsin 2Д& / Л

Трехпозиционное реле с зоной нечувствительности

Насыщение и зона нечувствительности

Хвых k

d<A

а к

О, если Aid;

(4fc/(7))Vl-(d/A)2 ,A>d; a = arcsind / А

о, если А < d ;

(2kfj 17:)(7: / 2 - а - 0,5 sin 2а),

если d < А<Ъ;

а = arcsin d j А

Ь<А

2п at

10.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ И УСТОЙЧИВОСТИ АВТОКОЛЕБАНИЙ

Аналитическое решение задачи. Поставленная задача может быть решена путем отыскания периодического решения гармонически линеаризованного характеристического уравнения (10.30), в которое вместо р подставляется /со:

G(/CB) + D(;cB)((A,cB) + ЖА.св)) = 0. Выделим в этом выражении вещественную и мнимую части: Х(со) + /У(св) = О

и введем для частоты и амплитуды периодического решения значения со = СОд и А = Ад. Приравняв нулю порознь вещественную и мнимую части, получим два уравнения:

Х(Ап,о)п) = 0;

У(Ад,о)п) = 0.

из которых определяются искомые значения со„ и Ад. Если эти уравнения не имеют положительных вещественных решений для спд и Ад, то периодические решения и, следовательно, автоколебания вообще отсутствуют.

В частном случае, при однозначных нелинейностях, b = О, и мы получим:

откуда, исключив g, находим уравнение относительно co:

GyDz - GzDy = О . Определив сПд, вычислим Ад, пользуясь одним из уравнений ga = -Gl /Dl или = -Gg /Dg .

Решение задач, связанных с определением существования параметров и устойчивости автоколебаний нелинейных систем аналитическими методами, представляет значительные трудности. Поэтому были разработаны графоаналитические методы решения этих задач. В 1946 г. Л.С.Гольдфарб предложил использовать для решения поставленных задач АФХ нелинейной части системы и график обратного гармонического коэффициента передачи (метод гармонического баланса), а в 1954 г. Е.П.Попов предложил метод, основанный на использовании годографа Михайлова.

Метод Л.С.Гольдфарба. Подставим в уравнение (10.29), представленное выражением 1 + Kjj(p)K{p) = О, вместо р значение /со и запишем полученное соотношение в виде уравнения гармонического баланса:

K(M) = W(A), (10.31)

Рис. 10.12. Определение устойчивости автоколебаний методом Гольдфарба

где W(A) =-1/К{А) - гармоническая характеристика нелинейного элемента; КлЦа) - частотная характеристика линейной части системы.

Автоколебания возможны, если выполняется условие гармонического баланса (10.31). Решение этого уравнения производится графически. На комплексной плоскости строятся характеристики KJja) и W„{A). Искомый результат определяется точкой пересечения характеристик, в которой по кривой KjjQa) определяется частота, а по кривой Wg(A) - амплитуда автоколебаний (рис.10.12). Для определения устойчивости автоколебаний используется следующий критерий, предложенный Гольдфарбом. Если, двигаясь по кривой W„(A) в направлении возрастания А , при пересечении в данной точке характеристики КлЦа) мы выходим за пределы контура амплитудно-фазовой характеристики, то автоколебания будут устойчивыми. Точке, через которую мы входим внутрь контура K„(jm), соответствуют неустойчивые автоколебания. На рис.10.12 точке М соответствуют устойчивые, а точке N - неустойчивые автоколебания. Сформулированный критерий справедлив, если линейная часть САУ устойчива. Если линейная часть неустойчива и ее характеристическое уравнение имеет т корней в правой полуплоскости, то точка пересечения характеристик Kjija) и н(.<) соответствует устойчивым колебаниям лишь в том случае, если, двигаясь по WiA) в направлении роста А и пересекая эту точку, мы попадаем в область, которую Kjiija) охватывает в положительном направлении т/2 раз.

Метод Е.П.Попова. Метод основывается на использовании годографа Михайлова, который может быть получен на основании характеристического уравнения замкнутой системы (10.30) заменой р на ja:

M(ja>) = GUa) + DUS>)(g(A, со) + b(A, со)/ю / со), (10.32) где ю - текущий параметр, изменяющийся вдоль кривой Михайлова; со - частота, входящая в выражение гармонической линеаризации нелинейного элемента. Искомые значения соц и А, соответствующие периодическому решению, определяются прохождением кривой Михайлова через начало координат