значение силы. Тогда на основании равенства (6)

i l L

По условию известно уравнение траектории /(л, б) = 0, которое определяет у в функции 9: у = <р (9). Следовательно, получаем

F=.-[cp(8) + cp(9)l.

Если на характер силы F заранее не налагается никаких ограничений, то задача представляет неопределенность, так как л и 9 связаны заданным уравнением, вследствие чего можно преобразовать бесчисленным множеством способов выражение для F. Можно, и это обычно требуется, выразить F в функции одного только г, для чего нужно исключить 9 из предыдущего уравнения и из уравнения траектории.

Примеры. 1°. Рассмотрим случай конического сечения, описываемого по закону площадей относительно фокуса и обращенного к этому фокусу вогнутостью. Приняв фокус за полюс, имеем уравнение конического сечения

\-\-eco9b

где р-параметр и е - эксцентриситет. Отсюда находим

Г 62 р

тСГ-

Следовательно, сила является притягивающей, изменяющейся обратно пропорчивнально квадрату расстояния.

2*. Если ту же задачу рассматривать для ветви гиперболы, обращенной выпуклостью к фокусу, так что ее уравнение имеет вид

1 е cos в - 1

pr-i

Таким образом, для силы получается тот же закон, но она будет отталкивающей.

3°. Большинство встречающихся в подобных задачах кривых заключено в уравнении

Г" = а cos k9 -f- b,

где a, b, k - постоянные. Если предположить, что эти кривые описываются по закону площадей относительно начала, то для силы, выраженной

F = - 0-

fiK + i 1 /-« + 3

(Частные случаи: при ,k = -1 имеем конические сечения с фокусом в полюсе; при k = -2 имеем конические сечения с фокусом в центре; при k - 1 имеем улитку Паскаля; при k = 2, ft = О имеем лемнискату, ...)

И. Движение планет

226. Следствия из законов Кеплера. Во всем последующем изложении речь будет идти только о движении центра тяжести планет. Согласно теореме, которую мы докажем впоследствии, центр тяжести движется, как точка, в которой сосредоточена вся масса планеты и в которую перенесены параллельно самим себе все приложенные к планете силы.

Законы движения планет выведены Кеплером из наблюдений Тихо Браге. Эти законы следующие:

l"". Планеты описывают вокруг Солнца плоские кривые по закону площадей;

2°. Эти кривые являются эллипсами с фокусом в Солнце;

3°. Квадраты звездных времен обращения планет пропорциональны кубам больших осей их орбит.

Из этих законов Ньютон вывел закон для силы, вызывающей эти движения.

Так как траектория плоская и имеет место закон площадей относительно центра Солнца, то сила является центральной, проходящей через эту точку. Так как траектория является эллипсом с фокусом в Солнце, то сила, действующая на планету, обратно пропорциональна квадрату расстояния от планеты до Солнца. Для этой силы мы получили выражение («ервый пример предыдущего пункта)

Р та-

- рг-

где С - постоянная площадей, а р - параметр конического сечения. Полагая а = -, можно написать

г-

Последний закон Кеплера показывает, что \i не зависит от рассматриваемой планеты. В самом деле, постоянная площадей С равна удвоенному отнощению площади, описанной радиусом-вектором, к затраченному на это времени; если Т-продолжительность обращения, то радиус-вектор описывает за время Т площадь Tzab; следовательно,

2паЬ

- 7 *

Так как р равно -, то для \>. получаем выражение

в функции г, получится

По закону, о котором мы говорили, отношение -j будет одинаковым для всех планет; поэтому сила для любой планеты будет

m(i.

Итак, каждая планета притягивается к центру Солнца силой, пропорциональной массе планеты и обратно пропорциональной квадрату расстояния от планеты до Солнца.

227. Прямая задача. После установления этого результата Ньютон обратился к следующей задаче.

Найти движение материальной точки, притягиваемой неподвижным центром с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Центральная сила выражается формулой

По закону кинетической энергии имеем

Но по теории центральных сил [формула (4)]

г/2 = С2

Подставляя это значение в предыдущее равенство, получим

/ 1 \2 d- г

db j

Это - дифференциальное уравнение траектории; его можно представить так:

/ . 1 \*

Положим

d- г

- \r с) а-

1 (i TiAt* i л

Тогда уравнение для р будет • dp \2

± df

откуда, интегрируя, найдем

6 - а = ± arc cos р,

p = cos(e - а).