Пусть X - порядок малости величины а - г относительно 5 - I вблизи 8 = 1. Тогда подынтегральное выражение будет обращаться в бесконечность порядка Х/2 относительно -Если то интеграл,

определяющий t, будет неограниченно возрастать; если, напротив, Х/2 < 1, то интеграл останется конечным. Первый случай представится для обыкновенной точки, для которой >. = 2; в этом можно убедиться, рассматривая г как функцию от s и разлагая ее по формуле Тэйлора

вблизи 5 = / и замечая, что ~ обращается, по предположению,

в нуль при 8 = 1. Второй случай может представиться для точки возврата, для которой в общем случае X - l. Если, следовательно, А является обыкновенной точкой с горизонтальной касательной, то движущаяся точка будет неограниченно приближаться к этому положению, никогда его не достигая. Если А является точкой возврата, то движущаяся точка может достигнуть точки возврата А со скоростью, равной нулю, после чего она остановится в этом положении равновесия. Такой пример мы найдем в упражнении 5.

247. Нормальная реакция. Естественные уравнения. Если применить -естественные уравнения движения (п. 209), то получатся: во-первых, одно уравнение, определяющее движение, и, во-вторых, два уравнения, определяющие нормальную реакцию.

Проведем в точке М касательную МТ в сторону возрастания дуг. Рис. 156. Пусть УИС = р -радиус главной кривизны (рис. 156); проведем бинормаль MB. Так как единственными силами, действующими на точку М, будут сила F и нормальная реакция N, то естественные уравнения движения для рассматриваемого случая будут:

Ff-rn! (1)

F„N„ = m, (2)

Fb + Nb = 0. (3)

Первое из этих уравнений, являющееся не чем иным, как уравнением кинетической энергии в другой форме, определяет движение по кривой, так как оно не содержит реакции; два других определяют составляющие и реакции. Вычисление упрощается, если имеется силовая функция U. В этом случае уравнение кинетической энергии имеет вид

При несвободном движении в уравнения войдут нормальные реакции неподвижной кривой, и уравнения движения примут вид

dv с I "с" , mv = Ff + a Ft+ ....

mv- с- I "d" 1

Отсюда, на основании уравнений (1) получим сначала Л(, = О, а затем

и, интегрируя, найдем

dv , , dv , ,, ,, dv" ,

v-j- = av -- aV --j--\- ...

ds ds ds

где постоянная с имеет значение

2 / 2 7/ г/2

Vq - а ТО - а Vq - ...

и, внося это значе1Н1е v в уравнение (2), можно будет определгть реакцию, не зная движения.

Уравнение (1), fianncanHoe в виде

„ dv ds dv 1 d{mv")

F.=zm-r--rr -mv~=.- --з--, ds dt ds 2 ds

действительно идентично с уравнением кинетической энергии. Оно показывает, что движение не изменится, если деформировать кривую, не изменяя ее длины, и изменять при этом силу таким образом, чтобы не изменялась ее касательная составляющая. Эта операция отразится только на нормальной реакции. В частности, таким путем можно, не изменяя движения, преобразовать кривую линию в прямую и свести задачу к вопросу прямолинейного движения.

Дополнение. В качестве дополнения к сказанному выше, докажем следующую теорему:

Пусть свободная точка, начинающая двигаться из положения уИо, с последовательными начальными скоростями Vq, г/g, ..., под действием сил, соответственно равных F, F", ..., описывает одну и ту же траекторию С. Допустим теперь, что эта точка начинает движение по неподвижной кривой, имеющей форму траектории С, и что при этом на точку одновременно действуют силы чР, aF", где а, л", ... - постоянные; тогда в этом движении нормальная реакция кривой будет направлена по главной нормали и будет обратно пропорциональна радиусу кривизны.

Пусть v, и", -скорости, которыми последовательно обладает точка в серии свободных движений. Естественные уравнения какого-нибудь из этих движений, например первого, будут

е./ dv , dv „/ v • „

F=zm -rr = mv -7- , /n = w-. /л = 0

dt ds p 0

mv , , mv

Наконец,

N = Jivi-av-- a"v"- ....)= С. Р 9

Это равенство совместно с равенством Ni)==0 и доказывает теорему, которую мы имели в виду.

Начальными скоростями можно распорядиться таким образом,чтобы постоянная с была равна нулю. В этом случае реакция будет все время равняться нулю и точка свободно опишет заданную кривую. Этот последний результат установил Бонне.

Например, материальная точка может свободно описывать один и тот же эллипс под действием пяти следующих сил: притяжения, обратно пропорционального квадрату расстояния со стороны каждого из фокусов, притяжения, пропорционального расстоянию со стороны центра и, наконец, притяжений со стороны осей, обратно пропорциональных кубу расстояний. Если, следовательно, заставить точку описывать эллипс под одновре.менным действием всех этих пяти сил при произвольных начальных условиях, то давление на эллипс будет обратно пропорционально радиусу кривизны.

248. Математический маятник. Математический маятник состоит из тяжелой материальной точки, движущейся без трения по" окружности, распо.тоженной в вертикальной плоскости (рис. 157).

Возьмем оси, указанные на чертеже, и допустим, что точка приведена в движение из самого низкого положения Мо {Zo = - I) с начальной скоростью Vq. По теореме кинетической энергии имеем

v- = 2g(a - z), a=-l-\-

1 2

Рис. 157.

Г. Допустим сначала, что прямая П (г = а) пересекает окружность в двух точках А и А, т. е. что а < /, или Vo < 2Ylg- Тогда, как мы видели, движение будет изохронным колебанием между точками А и А. Для исследования движения примем в качестве переменной угол МоОМ = 8. Имеем:

г = -/ cos 8, а = - I cos а,

где а - угол наибольшего отклонения МоОА.

В этой переменной выражение скорости будет

ds , dQ

и уравнение кинетической энергии примет вид

р (J = 2gl (cos 8 - cos a). Уравнение можно переписать так: