ds ds ds Написав, что эта точка принадлежит эллипсоиду, имеем

D2 a\ds) b\ds ) e\ds ) Уравнение касательной плоскости в точке М будет

расстояние от начала координат до этой плоскости определяется формулой

/.2 ~г А2 т""

р2 а2 42 с2 •

откуда на основании равенства (5) действительно получаем

pD = const.

Эта теорема применима также и к линиям кривизны эллипсоида. Действительно, мы увидим дальше, что эти линии соответствуют особым решениям уравнения (5). (Дарбу, Mecanique de Despeyroux, т. 1.)

Для завершения интеграции нужно выразить координаты х, у, г точки эллипсоида через ее эллиптические координаты q,, q. Тогда переменные qi, 92 разделятся и интегрирование приведется к квадратурам. К этому вопросу мы вернемся вновь при рассмотрении приложения метода интегрирования Якоби (глава XVI).

271. Применение уравнений Лагранжа. Обычно для нахождения геодезических линий предпочтительнее поступать следующим образом, используя уравнения Лагранжа. Пусть

x = <f{qy, q), y=.i/{ qy, q), z = ui(q„ q

- выражения координат точки поверхности в функции двух параметров.

Тогда квадрат линейного элемента произвольной кривой, проведенной на поверхности, выразится так

rf52 йд;2 4. rf2 4. rf22 = a,i dql + 2ai2 dq, dq + a dql-

Если для упрощения мы положим массу точки равной 1, то получим

полудиаметра, параллельного касательной, проведенной в точке М к геодезической линии, то вдоль всей этой линии произведение pD постоянно. Действительно, так как направляющие косинусы касательной в точке М dx dy dz

равны -, -j, -jj-, то координаты конца параллельного полудиаметра будут

и уравнения движения будут

= 0,

/ дТ \

Одно из этих уравнений, более сложное, будет в дальнейшем заменяться интегралом кинетической энергии T~h, или

Мы имеем таким образом два уравнения (из которых одно второго порядка, а другое первого), определяющие q,, q в функции t.

Пример. Поверхность такова, что при подходящем выборе криволинейных координат, определяющих ее различные точки, можно выражение линейного элемента ds привести к виду

ds2 = и (du + dv"-).

Требуется найти конечное уравнение геодезических линий. Во что преобразуются эти линии, если сделать карту, на которой каждой точке поверхности с координатами и, v будет соответствовать точка плоскости с прямоугольными координатами, имеющими те же самые значения) (лиценциатская, Париж, 1887).

, , du dv

Обозначая через и н v производные

равной 1, получим

-3- и -гг и полагая массу точки dt dt

r=lu(u2 + t,2)

и так как нет непосредственно приложенных сил, то уравнения Лагранжа будут

(uu)-u-v=0, -(uv) = 0. (1)

Мы знаем заранее первый интеграл этих уравнений, а именно интеграл кинетической энергии Т = h, или

Второе из уравнений (1) дает другой первый интеграл

= С.

Исключая dt из этих двух уравнений и полагая - 2а, получим дифференциальное уравнение геодезических линий

dv = Ya

Vir.

Отсюда, интегрируя и обозначая через b другую постоянную интегрирования, получим

(и -6)2 = 4а (к -а).

Уравнения Лагранжа в применении к переменным х я у, играющим роль параметров q и q, будут

d ( дТ \ дТ дЦ dt [дх ) дх~ дх •

d (дТ \ дТ дЦ dt \ ду ) ду ду

Это и есть уравнение искомых геодезических линий в конечной форме. Если и и V рассматривать как прямоугольные координаты точки плоскости, то кривые будут параболами, имеющими директрису на оси v. Поверхность, для которой мы нащли геодезические линии, развертывается на поверхность вращения. (См. Дарбу, Theorie generale des surfaces, часть 3, гл. II.)

272. Бесконечно малые колебания тяжелой точки около наинизшей точки поверхности. Рассмотрим на поверхности точку О, в которой касательная плоскость горизонтальна и поверхность в окрестности этой точки расположена над этой касательной плоскостью. Это положение О является положением устойчивого равновесия для тяжелой материальной точки, движущейся без трения по поверхности. Мы исследуем бесконечно малые колебания около этого положения равновесия. Примем точку О за начало координат, ось Ог направим вертикально вверх, а оси Ох я Оу - по касательным к линиям кривизны, проходящим через точку О. Если координату z поверхности разложить для малых значений х я у по формуле Маклорена, то уравнение поверхности будет иметь вид

Х у2

где добавочный член f (х, у), по крайней мере, третьего порядка относительно X я у, а р и q - оба главных радиуса кривизны поверхности в точке О. Так как материальная точка я-вляется тяжелой, то имеется силовая функция

U=-gz,

которую мы написали в предположении, что /и = 1. Функция Лагранжа Т имеет вид

T=:L(x+y+z-),

zJ + llL + x+y. р q дх ду

При малых колебаниях около рассматриваемого положения равновесия х и у остаются очень малыми; составляющие х и у скорости также очень малы, так как сама скорость, как мы видели (п. 267), очень мала. Мы будем рассматривать х, у, х, у как величины одного и того же порядка. В выражении Т будут тогда содержаться два члена второго порядка и третий член z четвертого порядка. Мы пренебрежем им по сравнению с двумя первыми и получим

r=U2 + y)-

Если в выражении U заменить z его значением, то разложение U начнется двумя членами второго порядка, которые мы только и сохраним, пренебрегая членами более высокого порядка. Получим