Но поскольку 7" не содержит ни х, ни у, они примут вид

Эти уравнения сразу интегрируются:

dfi q У-

= А cos [t ]/"

; = В sin it

где А, В, а, р - произвольные постоянные, которые должны быть определены по начальным условиям. Таким образом, мы получили бесконечно малые колебания. Координата х принимает свое первоначальное значение через

промежуток времени 2я / , а координата у - через промежуток 2я \/~~ Если эти два периода соизмеримы, то горизонтальная проекция траектории будет алгебраической кривой, которая получается исключением t из уравнений (1). Траектория будет трансцендентной, если оба периода несоизмеримы. В этом случае движение обладает некоторыми своеобразными особенностями. Рассмотрим в плоскости ху прямоугольник, образованный прямыми х = ± А, у=±В. Кривая, определяемая уравнениями (1), касается бесчисленное множество раз сторон этого прямоугольника. Так, эта кривая касается стороны х = А (рис. 167) при всех значениях t вида

2йя (ft - целое).

Рис. 167.

Более того, траектория некоторым образом как бы покрывает всю площадь этого прямоугольника. Мы это докажем, установив, что для произвольной точки Р с координатами £ и т) внутри прямоугольника существует бесчисленное множество значений t, при которых движущаяся точка подходит к Р на расстояние, меньшее любого заданного числа. Пусть в самом деле, X и fi - дуги, определяемые формулами

S = Л cos (X -f а), 1) = В cos (fX + Р). Если переменному t придать значение вида

(X 2Ы) {k - целое число),

то абсцисса х движущейся точки будет равна а ее ордината у будет иметь вид

у = В cos

]/" (Х-Ь 2fe7L) + 2r7i-f р

где k - произвольное целое число. По предположению, числа р и 9 несоизмеримы; следовательно, можно определить два целых .числа, k и к таким образом, что

Y q

(Х--271Й)--2й71

III. Движение на поверхности вращения

273. Геодезические линии поверхностей вращения. Мы ставили целью составить два уравнения, не содержащих нормальной реакции, и получили в качестве таковых уравнение кинетической энергии и одно из уравнений Лагранжа. В случае движения точки на поверхности вращения мы всегда будем иметь два не зависящих от реакции уравнения, применив теорему кинетической энергии и теорему момента количества движения относительно оси вращения, так как нормальная реакция лежит в одной плоскости с осью вращения и ее момент относительно этой оси равен нулю. Приложим, в частности, этот метод к определению геодезических линий поверхностей вращения.

Примем ось вращения за ось г. Если уравнение меридиана в плоскости хг есть 2 = tp {х), то уравнение поверхности будет, очевидно, 2 = ср(г), где г = Vx-j- у2 есть расстояние от точки до оси. Обозначим через гиб полярные координаты проекции Р движущейся точки на плоскость хОу. Для координат точки поверхности получим следующие выражения в функции двух параметров q, и q:

x = rcosB, y = rsmB, z = f(r).

Выражение квадрата линейного элемента будет

rfs2 = dx + + = (1 + ср) dr2 + г2 db

где cp = cp(r). Так как мы ищем геодезические линии, то зайлсемся исследованием движения точки, скользящей по поверхности без воздействия какой бы то ни было заданной силы. На эту точку будет действовать только реакция. Тогда по теореме кинетической энергии имеем

Далее теорема момента количества движения показывает, что для проекции движения на плоскость ху справедлив закон площадей (п. 203), т. е.

л2 dB = Cdt.

Из этих двух уравнений получаются два первых интеграла.

будет отличаться сколь угодно мало от любого заданного числа и, в частности, от fx. При соответствующих значениях t координата у будет отличаться сколь угодно мало от В cos ((i -\- Р), т. е. от -г), и так как при этом X будет равняться £, то движущаяся точка пройдет сколь угодно близко от Р.

Знак, который нужно взять, определится из рассмотрения направления начальной скорости. Уравнение геодезической линии в конечной форме будет

Это уравнение содержит две постоянные и р, которые можно, например, определить из условия, что геодезическая линия проходит через две заданные точки. Из этих двух постоянных лишь первая влияет на форму к-ривой; изменение второй постоянной дает поворот геодезической линии вокруг оси поверхности.

Обозначив через da элемент дуги меридиана, получим

da2 = dr + dz = {\ + ср) dr,

и дифференциальное уравнение геодезических линий можно будет написать в другом виде:

г /г2 - Й2

Примечание. В рассматриваемом случае имеем

где ср - функция от г. Одно из уравнений Лагранжа будет

d (дТ\ дТ

dt \de

) de

Так как Т не содержит 6, то равно нулю и мы получим

Таким образом, мы снова приходим к уравнению площадей.

Покажем, что интегрирование приводится к квадратурам. В самом деле, интеграл кинетической энергии после замены ds его значением принимает вид

(1 + ср) + /-2 й!92 = vl dt.

Чтобы получить проекцию траектории на плоскость ху, исключим отсюда dt при помощи уравнения площадей. Тогда найдем

(1 + ср) + Л2 62 = ~Г d62;

или, полагая = -р- и разрешая относительно db, получим