Первый случай. Обе крайние параллели лежат на нижней полусфере. Расположенная ниже окружность г = а проектируется внутрь окружности г = р; кривая, касающаяся поочередно этих окружностей, имеет вид, изображенный на рис. 170; кроме того, мы увидим, что эта кривая не может иметь точек, перегиба. Наблюдателю, расположенному на оси z, кажется, что движущаяся точка описывает овал, который перемещается в направлении движения. Ниже мы покажем, что угол В,ОА, больше прямого.

Рис. 170.

Рнс. 171.

Второй случай. Допустим теперь, что обе крайние окружности расположены по разные стороны экватора. Проекция окружности z - а будет по-прежнему лежать внутри окружности г = р, так как а -[- р > 0. С другой стороны, проекция траектории должна касаться экватора в точке Е. Она имеет указанную на рис. 171 форму; при этом она может иметь точки перегиба.

Доказательством высказанного выше свойства, что угол Ч?" = ВОА, всегда больше прямого, мы обязаны Пьюизё (Journal de Liouville, 1842). Этот угол имеет значение

J (/2-2;

(/2 2)f

Мы обозначили через а, р, f корни функции tp() и, следовательно, имеем тождество

<Р (Z) = (2gz + h) (/2 2) С2 = 2 (а - z){z - р) (г - 7). Раньше, приравнивая друг другу члены с г, мы получили

Теперь мы можем написать, заменяя i этим значением, 2

ср(г) =

« + Р

(„ г)(2-р) [(a-f P)-f/2 + ар].

Полагая в этом тождестве z = I, получим

-С2 =

a-fp

(a-l) (/ p)(/-f a)(Z-f р).

Обозначая имеем

и поэтому

Для оценки пределов этого интеграла определим пределы, между которыми заключен последний множитель г (а -[- Р) -f /2 + ар. Допустим, что найдены два положительных числа Я и Q таких, что для значений г, заключенных между аир, выполняется неравенство

P>z(a + P) + /a + ap>Q.

Тогда интеграл f будет заключен между двумя пределами, которые получатся, если в нем величину г (ар)--/з-j-ар последовательно заменить величинами Р и Q:

АВ С Idz ,„ АВ С Idz

VP-J (P - z)V(a - z)(z - Q) Vо J (fi -

YpJ (/3 г2)У(а г)(г-Р) YqJ (li-z)Y{a-z)(z-)

Определенный интеграл, входящий в это неравенство, содержит квадратный корень из квадратного трехчлена и может быть поэтому легко вычислен. Для него получается значение ~ ~ , и предыдущее неравенство принимает вид

" -(A + B)<W <-{А + В).

2YP --" - 2YQ

Первый выбор пределов Я и Q, который сразу приводит к теореме Пьюизё, будет следующий: множитель г (а 4-Р)-f-/2 р убывает или возрастает одновременно с г, потому что коэффициент а -f р положителен; так как z заключен между -1- / и - /, то этот множитель заключен между Д« Ч- Р) -Ь + «Р и - / (а + Р) -[- /2 + ар, т. е. между В и А. Следовательно, можно 1финять Р = В Q = Л2, и мы видим, что W заключено в пределах

-1+ - и-1-j-j, каждый из которых больше чем я/2. Если начальная скорость очень велика, то оба эти предела будут очень близки к я. Действительно, при неограниченном возрастании Vg величины А и С2 также неограниченно возрастают, и уравнение ср (г) = О после деления всех его членов на h принимает вид

/2 -г2 -рз = о,

где /?2 - некоторая постоянная. При этих условиях корень i многочлена ср (г) обращается в бесконечность, а корни аир стремятся к корням только что написанного трехчлена, которые равны и противоположны по знаку. Следовательно, в предельном случае имеем р = - а и оба найденных нами предела для W равны я. Таким образом, мы видим, что когда Vg неограниченно возрастает, то W стремится к я; траектория стремится тогда обратиться в большой круг. Альфен доказал (Traite des fonctions elliptiques, т. II), что угол ЧГ

у1 = У(/-а)(/-р), B = f(/ + a)(/ + p),

Г МВг

- / (/3 гЗ) У~(а-г) (г-р) [г (а + р) +/2 + ар]

P=a2-f 2ар + /2, Q = р2 2а?-f/2,

и тогда получи.ч

и (А + В) <г1-< (А + В)

2 Va- + 2ар 4- /2 2 Yр2 2ар -г /-

Когда 3 стремится к а, оба эти предела становятся равными и мы имеем

lim 1 = - , .

Р а 2 Y + /2

Эта формула позволяет определить значение W, когда траектория заключена между двумя бесконечно близкими параллелями. Если, кроме того, обе эти бесконечно близкие параллели находятся вблизи самой низкой точки сферы, то а будет очень мало отличаться от /, а - от 7с/2. В этом последнем случае траектория близка к маленькому эллипсу. Такой же результат мы получим дальше при рассмотрении бесконечно малых колебаний.

278. Вычисление нормальной реакции. Будем считать нормальную реакцию положительной, если она направлена к центру сферы. Общая формула

установленная раньше (п. 269), сразу позволяет найти N. В самом деле, радиус R равен радиусу / сферы, v" - 2gz + h я F„ есть проекция веса mg mgz

на радиус, равная--J-; следовательно, имеем

N = (2gz + h)+=iZgz + h).

Эта реакция будет такой же линейной функцией от г, как и в случае математического маятника. Если точка прикреплена невесомой гибкой нитью к центру сферы, то она покинет эту сферу в тот момент, когда реакция обратится в нуль. После этого реакция становится отрицательной, и точка падает, описывая параболу, соприкасающуюся с прежней ее траекторией на сфере.

Если точка не может покинуть сферу, если она, например, находится между двумя бесконечно близкими жесткими сферическими оболочками, то она будет давить на внешнюю оболочку, когда реакция положительна, и на внутреннюю, когда реакция отрицательна. В этом случае горизонтальная проекция траектории будет иметь точку перегиба в том месте, где Л обращается в нуль. Действительно, в произвольном положении движущейся точки соприкасающаяся плоскость траектории содержит равнодействующую <:ил N и mg; в точке же, где 7V = О, соприкасающаяся плоскость содержит только вес mg; следовательно, она будет вертикальна, и горизонтальная проекция рассматриваемой точки будет точкой перегиба. Этот случай не

не может стать больше предела т.. Сен-Жермен установил это же свойство более элементарным путем (Bulletin des Sciences mathematlques, 1896, 1898, 1901 и Memoires de IAcademie de Caen, 1901).

Вернемся на время к общему случаю. Мы можем найти более узкие пределы для значения Ч. В самом деле, так как множитель г (а -- р) -j- /2 -г возрастает или убывает вместе с г, то в интеграле, определяющем Ч", этот множитель будет заключен между крайними значениями, которые он принимает при г = а и г = р. Мы можем, следовательно, принять