Например, в прямоугольных декартовых координатах достаточно знать полный интеграл уравнения

[dW\2 (dWy fdWV ,

Точно так же, чтобы найти на неподвижной поверхности кривые, соединяющие две точки А п В п обращающие в минимум интеграл /, достаточно иметь полный интеграл W {q,, q, а.) уравнения Якоби (8) относительно W, в котором нужно заменить 2{U-\h) величиной f-. Получится уравнение

Искомые кривые будут тогда иметь уравнение - а, и интеграл (10)

вдоль одной из этих кривых равен - Wq.

Но мы видели, что к нахождению кривых, обращающих в минимум интеграл вида (10), можно свести три следующие задачи:

1) определение фигуры равновесия нити, свободной или лежащей на поверхности, когда действуют силы, имеющие силовую функцию (п. 146);

2) общую задачу рефракции (п. 150);

3) определение брахистохрон для точки, свободной или движущейся по поверхности, когда существует силовая функция (пп. 255 и 257).

Эти задачи могут быть, следовательно, приведены к нахождению полного интеграла уравнения с частными производными вида (11) или (12). Значение интеграла (10) вдоль одной из этих кривых, идущих oi Av. В, есть - Wq. В частном случае брахистохрон значение этого интеграла определяет время, затрачиваемое точкой для пробега дуги АВ брахистохроны. (См. К л е б ш. Journal de Crelle, т. 57, стр. 93; Аппель, Comptes rendus, 12 марта 1883 и Annales de la Faculte de Toulouse, 1887; Андуайе, Comptes rendus, m. C, стр. 1577; Марколонго, Rendiconti della R. .\ccademia delle Scienze di Napoli, июль, 1888.)

УПРАЖНЕНИЯ

1. Если в канонических уравнениях положить t = -t, то уравнения сохранят ту же форму, но р будут играть роль параметра q и наоборот. Сделать отсюда вывод, что для получения интегралов уравнений движения достаточно знать полный интеграл уравнения с частными производными

dV , „/ dV dV dV Л

и написать интегралы уравнений движения.

2. Тот же вопрос для движения точки по поверхности или по кривой.

3. Применить метод Якоби к следующим примерам.

а) Движение точки, находящейся под действием силы, постоянной по величине и направлению, и силы притяжения к неподвижному центру по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния. Этот случай является предельным для задачи, разобранной в п. 307; достаточно предположить один из притягивающих центров в бесконечности; софокусные конические сечения обратятся тогда в софокусные параболы. (Селлерье, Bulletin des Sciences mathematlques, 1891; Сен-Жермен, Nouvelles Annales, 1892.)

б) Движение сферического маятника.

4. Привести к канонической форме уравнения движения точки по неподвижной или движущейся кривой. Применить затем теорему Якоби. (Доста-

Н = piU -Т-и = (62 - 2аа),

или, в функции Pi,

Уравнение Якоби будет

Г/ 1 dV

dV Ri Оно имеет полный интеграл

ht+ аМ-\- J /2аш + 2А cLb с постоянной h. Тогда уравнение движения будет

= const. =-/?%, t-t,= f , .

Из вида a следует, что это уравнение идентично уравнению движения математического маятника.

7. Дана поверхность, линейный элемент которой мом{ет быть приведен к форме Лиувилля (п. 305). Обозначим через i угол, который образует в каждой точке определенная геодезическая линия с кривой = const., проходящей через эту точку. Доказать, что вдоль всей этой линии

Ai sin2 i + А, cos21 = const.

(Лиувилль, Journal de Mathematiques, 1844.)

8. Приложить метод п. 305 к нахождению геодезических линий на плоскости, пользуясь эллиптическими координатами на плоскости.

Дифференциальное уравнение геодезических линий (прямых линий) будет В этом случае уравнением Эйлера. Тогда уравнение прямой в эллиптических координатах будет интегралом уравнения Эйлера (Лагранж, см. п. 307). Уравнение, определяющее дугу геодезической линии (305), будет выражать теорему сложения для эллиптических интегралов второго рода. (Дарбу, Lefons sur la Theorie generale des surfaces, т. Ill, стр. 13.)

9. Приложить метод п. 305 к нахождению геодезических линий сферы, пользуясь эллиптическими координатами на сфере. (См. Дарбу, там же, т. II, стр. 422.) Имеем

dsi = (cos 21j. - cos 2v) (- - +-/- Л .

V cos 2(х - cos 2c cos 2c - cos 2м /

ТОЧНО применить общие теоремы, допустив, что параметры сводятся к одному qi.)

5. Рассмотреть приложение метода Якоби к математическому маятнику.

6. Рассмотреть приложение метода Якоби к задаче п. 260. В этой задаче, полагая т = \, имеем

Г = :(е2 + 2ае + 2а(й), а = ш(1 + созе).

Имеется только один параметр 6, играющий роль параметра q; кроме того, (7 = 0. Нужно положить

-1 1пГ, k

то уравнения примут вид

d-х ди , .,df 2

Формула относительно дуги геодезической линии (большого круга) даст тогда формулу сложения для эллиптических интегралов третьего рода. (Дарбу, там же, т. Ill, стр. 13.)

10. Приложить метод Якоби к нахождению по п. 312 фигуры равновесия однородной тяжелой цепочки.

11. Пользуясь обозначениями п. 305, доказать, что можно привести к квадратурам задачу движения точки по поверхности Лиувилля, когда

силовая функция имеет вид ~-~, где Ui зависит только от q,, а О" -

9i - 9-2

только от qo.

Рассмотреть, в частности, движение на эллипсоиде точки, притягиваемой центром пропорционально расстоянию (Якоби). Доказать, что в этом движении давление точки на эл.чипсоид изменяется пропорционально кубу расстояния от центра до касательной плоскости, проведенной к эллипсоиду в движущейся точке. (Ас тор. Bulletin des Scences mathematiques, 1889, стр. 294.)

12. Метод Эллиота для случая сопротивления, пропорционального скорости. Мы допустили в предыдущей главе, что составляющие X, Y, Z равнодействующей заданных сил, приложенных к движущейся точке, суть частные производные некоторой функции U (х, у, г, t). Мы обязаны Эл.тиоту остроумным замечанием, что уравнения движения можно привести к каноническому виду и вследствие этого применить метод Якоби также и в том случае, когда к силе X, Y, Z присоединена сила сопротивления, пропорциональная скорости. Возьмем, например, движение точки массы 1 по неподвижной или движущейся поверхности f(x, у, г, О = О под действием силы

ди ди ди

с проекциями , , и сопротивления, пропорционального скорости,

, dx dy .dz ч I,

с проекциями -1%-, - , (й - постоянная). Уравнения дви-

жения будут

df dt дх дх

Сделаем замену независимой переменной, полои;и8 = е""** и, следовательно, приняв t за новую переменную. Имеем

dt dt dt dt dt

и первое уравнение примет вид

rf2£ 1 L , \ df df~ кЧ дх кЧ" дх

Два других уравнения преобразуются аналогичным образом. Следовательно, если положить

U{x,y,z,t)U{x,y,z,t),