точкой пересечения мгновенной оси с плоскостью П, называется мгновенным центром вращения плоской фигуры. Конечное движение получается качением кривой с, полученной при пересечении цилиндра С плоскостью П, по кривой Cj, полученной при пересечении цилиндра Cj той же плоскостью.

57. Качение и верчение подвижной поверхности по неподвижной поверхности. Вообразим движущееся твердое тело, ограниченное некоторой неизменяемой поверхностью S, которая все время касается некоторой неподвижной поверхности Si (рис. 49). В каждый момент t некоторая точка А

Рис. 49.

движущейся поверхности 5 находится в соприкосновении с некоторой точкой Ai неподвижной поверхности Si- Если в момент t скорость Vq точки А касания поверхности S с поверхностью Si отлична от нуля, то эта скорость лежит в общей касательной плоскости обеих поверхностей. В самом деле, вообразим движущуюся точку, совпадающую в каждый момент с точкой соприкосновения обеих поверхностей. Абсолютная траектория Q этой движущейся точки лежит на поверхности Si и ее абсолютная скорость Vi направлена по касательной к Ci, относительная траектория С лежит на поверхности 5 и относительная скорость V касается С; переносная скорость, вызванная движением 5, есть скорость Ко точки А поверхности S, находящейся в рассматриваемый момент в соприкосновении. Так как Vi есть результирующая векторов V и Vq, то вектор Ко, если он отличен от нуля, так же как и векторы К и К, лежит в плоскости, касательной к обеим поверхностям в точке А. Скорости различных точек движущегося тела будут такими же, как если бы тело совершало поступательное движение со скоростью Ко и вращение Am вокруг некоторой оси, проходящей через точку А.

Говорят, что поверхность S катится и вертится по поверхности Si, если в каждый момент времени t скорость точки А касания этих поверхностей равна нулю. В этом случае Ki равно нулю и скорости различных точек тела будут такими, как если бы оно совершало вращение Аи> вокруг оси, проходящей через А. Следовательно, мгновенная винтовая ось проходит через А и скольжение не происходит. Геометрическое место осей Аи> образует в теле S иек торую линейчатую поверхность S, а в абсолютном пространстве - некоторую линейчатую поверхность \. Движение тела получится, если заставить катиться поверхность S по поверхности St. Геометрическое место точек А на поверхности S есть кривая С пересечения поверхностей S и S; геометрическое место точек Ai на поверхности St есть кривая Q пересечения поверхностей St и Si- Эти две кривые С и Ct

~ж - жчг~ dt4r~y dt •

Заменяя первые производные , ... их значениями и полагая Pi + 9? + = найдем

djTi da . t I / I IN

+ i i* i-i + 1-1 + ii ~

о , do, . drt

-COXi + Zi-.

rfSyi

Переставляя буквы, получим выражения других проекций и

ускорения на неподвижные оси.

59. Ускорение в относительном движении. Теорема Кориолиса. Выше (п. 45) мы изложили очень важную теорему, устанавливающую связь между абсолютной скоростью движущейся точки и ее относительной скоростью относительно некоторой системы (5). совершающей известное движение.

также катятся одна по другой, что вытекает из того, что скорость Kj совпадает со скоростью V. Мгновенное вращение Аа может быть разложено на два: одно Аа„, нормальное к обеим поверхностям и называющееся угловой скоростью верчения, и другое Au>t, лежащее в касательной плоскости и являющееся угловой скоростью качения. Когда движение таково, что скорость верчения равна постоянно нулю, то движение 5 по есть качение.

IV. Ускорения. Теорема Кориолиса

58. Распределение ускорений в движущемся твердом теле.

В общем случае проекции скорости точки М тела на неподвижные оси равны:

=-c+Pxyx - qiXx,

где а, Ь, с обозначают величины Vx, - 9i2o + i3o и т- Д- Дифференцируя по получим формулы для проекций ускорения на неподвижные оси:

Мы ставим себе задачей доказать такого же рода теорему, связывающую между собой абсолютное.и относительное ускорения. Мы будем пользоваться аналитическим методом, который даст также и теорему о скоростях, доказанную ранее геометрически.

Для определения движения системы отсчета (5), относительно которой изучается относительное движение, введем три подвижные оси Охуг, неразрывно связанные с (5), и зададим их движение так же, как мы это делали в п. 51. Пусть М - движущаяся точка. Так как она движется и в системе (5) и в пространстве, то ее координаты X, у, Z относительно подвижных осей и ее абсолютные координаты Ху, Ух, Zx будут функциями времени. Эти координаты связаны формулами

Xi = jCq + а.х -{-ЛхУ + OgZ,

Jio + pAr+piz+pa, (1)

2i==2o + T + Ti3 + T22- •

Точка М имеет абсолютную скорость и абсолютное ускорение, проекции которых на неподвижные оси равны

dbcx df-

(Va) (4)

Ее относительные скорость и ускорение имеют на подвижные проекции

оси (V,)

a на неподвижные оси - проекции dx

Ж-dt+dF

ID dy r, dz

dx , dy

dx dy df df

dt dz 2 dt