в сторону, внешнюю по отношению к соответствующ.ему треугольнику, По доказанному, вся эта система сил находится в равновесии. Но в середине каждой диагонали приложены две равные и противоположно направленные силы; их можно, следовательно, отбросить, не нарушая равновесия, и тогда останутся лишь силы, приложенные к серединам сторон многоугольника. Предложение, таким образом, доказано.

2°. Дан плоский многоугольник ABCDE (рис. 69, а), на котором избрано какое-нибудь направление обхода. Приложим в каждой вершине этого многоугольника силу, направленную по стороне, оканчивающейся в этой вершине, и пропорциональную длине этой стороны. Если многоугольник выпуклый, то эти силы приводятся к паре. В самом деле, сумма проекций этих сил на любую ось равна нулю, так как она равна jfe-кратной величине проекции замкнутого многоугольника ABCDE, но сумма моментов относительно произвольной точки О плоскости многоугольника отлична от нуля. Действительно, эта сумма равна

т. е.

N= ±2к{пл.0АВ + пл.0ВС+ ...), М=±2к-пл. ABCDE.

Таким образом, равновесия нет.

Если многоугольник вогнутый, то такого результата не получится. В самом деле, возьмем многоугольник ABCD; сумма моментов относительно точки О плоскости (рис. 69, б) будет равна

+ 2k (пл. DlC - пл. BlA).

Следовательно, равновесие получится только тогда, когда треугольники DlC и BlA равновелики.

103. Параллельные силы. Пусть на твердое тело действуют параллельные силы. Обозначим через а, направляющие косинусы полупрямой 0D, параллельной направлению сил, через Pj, р2, .... Рп - алгебраические значения этих сил, которые мы считаем положительными в сторону 0D и отрицательными в противоположном направлении, и через х, Л> - координаты точки приложения Р/. Тогда могут представиться следующие различные случаи (п. 29).

1°. Одна равнодействующая, параллельная данному

направлению, имеющая алгебраическое значение приложен-

ная в центре параллельных сил

. 2Лл , 2

р, • ~ Ри •

положение которого не зависит от направления сил.

2°- 2fc = 0, 12 + М2 + Л/2>0. Одна пара с вектором момента L, М, N.

3°. 2Р. = 0, 2 2 2 Равновесие.

Астатическое равновесие. Допустим, что твердое тело перемещается, но параллельные силы сохраняют величину, линию действия и направление (относительно неподвижных осей) и остаются приложенными в одних и тех же фиксированных точках тела. Равновесие называется астатическим, если оно осуществляется при любом положении тела, или, что одно и то же, при любом направлении сил относительно тела, т. е. каковы бы ни были а, р, y- Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись уравнения

2/-0, 2/=0, 2/=0, PuZu=o.

в этом случае центр сил, направленных в одну сторону, совпадает с центром сил, направленных в противоположную сторону, так что обе системы сил всегда уравновещиваются.

104. Центр тяжести. Мы уже дали определение веса материальной точки: это - вертикальная сила, интенсивность которой р равна массе точки, умноженной на ускорение тяжести g, одинаковое в одном и том же месте для всех тел. Направление вертикали изменяется с изменением места; наблюдения показывают, что величина g изменяется с высотой и щиротой места; но эти изменений ничтожно малы в границах тела обычных размеров. Следовательно, тяжелое твердое тело можно рассматривать как совокупность большого числа связанных между собой материальных точек, находящихся под действием параллельных вертикальных сил, приложенных к этим точкам и пропорциональных их массам. Равнодействующая этих сил, равная их сумме, называется весом тела. Точка приложения этой равнодействующей или центр параллельных сил, приложенных к материальным точкам, называется центром тяжести. Он занимает в теле положение, не зависящее от ориентации тела, так как если тело перемещается, то для наблюдателя, связанного с ним, все происходит так, как если бы тело было неподвижно, а параллельные силы поворачивались на один и тот же угол вокруг своих точек приложения, что не изменяет положения центра параллельных

СИЛ. Таким образом, центр тяжести тела - это точка, через которую всегда проходит его вес, каково бы ни было положение тела. Если, следовательно, закрепить центр тяжести тела, предоставив ему свободу вращаться вокруг него, то тело, находясь под действием только тяжести, будет оставаться в равновесии в любом положении, которое оно может принять.

106. Координаты центра тяжести. Пусть т.....от„ - массы материальных точек, составляющих твердое тело, р, р,, . ,

Рп-их веса, (х, у, z), (х, У2, .....{х, Уп, г„) - координаты

этих точек, а Р а М - вес и масса всего тела. Имеем

Рк = ЩВ. PPi -hP2 + • • • +Pn = Щ-Если обозначить через , rj, С координаты центра тяжести, то их можно определить по формулам для центра параллельных сил

Р1Х1 + Р2Х2+ ... +РпХп miXt + m2X2+ ... +тпХп Р1 + Р2+ • +Рп mi-{-m2+ ... +тп

или, короче,

т "-.Р 2« ZP

Отсюда видно, что положение центра тяжести в теле обычных размеров зависит только от масс точек.

Это заключение очень важно, так как оно позволяет распространить понятие центра тяжести на системы невесомые. А именно, в некоторых вопросах, относящихся к материальным. точкам с массами

т, т2.....т„, не связанных неизменно между собой, полезно

ввести точку, координаты которой определяются предыдущими формулами. Эту точку, которую Эйлер предложил называть центром инерции *), продолжают часто называть центром тяжести, несмотря на то, что соображения, приводящие к понятию центра тяжести, не применимы к рассматриваемым вопросам. Центр инерции расположен, очевидно, внутри любой выпуклой поверхности, окружающей рассматриваемые точки (п. 32, примечание И).

Разница между центром инерции и центром тяжести для тел больших размеров изучена Лильесштрёмом (Comptes Rendus, т. 162, 1916, стр. 155).

Если известны центры тяжести 0 и G2 двух частей тела с массами Ml и М2, то можно найти сразу центр тяжести всего тела, так как он является центром параллельных сил Mg и M2g, приложенных в точках Gi и G2. Вообще, если известны центры тяжести Gi, G2.....Op и массы Ml, М2, • • •. Мр нескольких частей

тела, то центр тяжести всего тела есть центр параллельных сил 1 -zg.....Mpg, приложенных в точках Gj, G2, . • •, Gp. Обозначая через Xi, У1, Zi, X2, у, Zj.....Хр, Ур, Zp координаты цент-

*) Ее называют также центром масс.