динат, равные Lj, Mj, N. Это вытекает из самого определения момента относительно оси.

Перенос начала. Если в качестве начала координат принять любую другую точку О с координатами х, у, z, то .координаты точки /Ij относительно новых осей, параллельных первоначальным, равны 1 - х, Ух - у, Zx - z. Проекции вектора на новые оси остаются Х, Yi, Zj и моменты относительно этих осей будут

L[ = {y,~y)Z,-{z,-z) Y„

m[ = {z,-z)X,-{x,-x)Z„

N[ = {x,-x)Y,-~{y,y)X,.

Эти выражения получаются путем замены в выражениях L, М,, величин Xj, Ух, Zi величинами Xj - х, у - у, z - z. Момент OG того же вектора относительно точки О есть вектор, имеющий проекции Li, Ми Ni. Принимая во внимание значения L, М, N, можно написать

L[ = L, - {yZx - zYx), М[ = Mx - (zXx - xZi), N[ = Nx-{xYx-yX,).

11. Пять координат скользящего вектора. Шесть величин Х, Ki, Zi, Lj, Мх, N-x удовлетворяют тождеству Xjli + Fi + ZjA/i = О, которое выражает, что момент 00, перпендикулярен вектору АВ-Обратно, пусть заданы шесть произвольных величин Х, Fj, Z, L,, М,, Nx, из которых первые три не равны нулю одновременно, удовлетворяющие тождеству

LxXx + M,Y, + NxZx=Q.

Уравнения

Lx = yZx - zYx, MxzXx - xZx, Nx = xYx - yXx,

в которых x, у, z обозначают текущие координаты, определяют прямую линию D, так как в силу предположенного тождества они приводятся к двум независимым уравнениям. Пусть Ах - произвольная точка этой прямой. Тогда вектор Рх с началом в точке Ах и с проекциями Л,, Yx, Z будет направлен по этой прямой D и будет иметь моменты L,, Ж,, Nx относительно осей координат. Шесть величин Хх, Yx, Zx, Lx, Ml, Nx называются по Плюккеру координатами скользящего вектора. Из этих шести координат пять могут быть выбраны произвольно.

12. Относительный момент двух векторов Рх и Р2. Так называют величину, равную 6 объемам (Рх, Яо). определенную раньше (рис. 9). Алгебраическое выражение этой величины получается непосредственно из элементарной формулы аналитической геометрии, выражающей объем тетраэдра

в функции координат его вершин. Пусть х, yi, - координаты точки Ai и пусть Хх, К], Zi - проекции вектора на оси координат, наконец Li, Ml, Ni - его моменты относительно этих осей. Точно так же обозначим через Х2, У2> 2 координаты точки В и через Х, Y, Z<t, М, - проекции и моменты вектора Pj. Тогда, считая оси координат ортогональными и ориентируя их таким образом, чтобы поворот в положительном направлении вокруг оси Oz на 90° переводил ось Ох в ось Оу, получим с учетом знака

Xi Ух Zi 1

t + t yi + Yx z, + Zx 1 хг У2 гз 1

Х2 + У2+ Y2 Z2 + Z2 .1

6 объем. (Р,, Pg) = -

Раскрывая определитель, предварительно вычтя из второй строки первую и из четвертой третью, получим

6 объем. (Рь Рз) = L1X2+M1Y2 + NiZi + L2X1 + MiYt + iV,Zi,

или ввиду тождеств LiXi + MxYi + NiZf = О и L2X2 + M2Y2 + NoZo - О,

имеем 6 объем. (Р Р2) = (ii + L,) {Хх + Хо) +

+ (Ml + М2) (К, + Кз) + (Я, + N2) (Z, + Z2).

Аналитическое выражение момента относительно произвольной оси. ДаМа ось Д (рис. 10), на которой выбрано положительное направление от точки О с координатами (х, у, z) к точке О" с координатами {х", у", г").

Проекции X-j, Y2, Z2 вектора ОО", представляющего собою вектор Pj, и величины L2, М2, N2 его моментов равны соответственно

х" - х, у" -у, z"-z; уг" -гу",

гх" - дг V, ху - ух".

Момент Шх вектора Рх относительно заданной оси Д равен величине 6 объем. (Pi, Pj), деленной иа Рд, что дает:

(x"-x)L,Hf-y)M,+(.z"-z)N,+{yz"-zy")X,+{x"-xz") Y,+{xy"-yx") Z, V(x-x"f+(y -у"Г+ (z -

Из этой общей формулы можно для проверки получить значения моментов вектора Pi относительно осей координат. Для оси Oz, например, достаточно положить jr = у = г = д/ = у" = О и г" = 1. Тогда момент будет равен iVi. Точно так же для осей Ох и Оу получатся Ц и Ali.

13. Скользящие векторы, сходящиеся в одной точке. Результирующий вектор. Пусть заданы скользящие векторы Р Р, ... fP, линии действия которых пересекаются в некоторой точке А. Каждый из указанных векторов можно перенести вдоль его линии действия так, чтобы все эти векторы оказались приложенными в самой точке А, как показано на рис. 11. Тогда результирующим вектором рассматриваемой системы векторов называется вектор R, равный их геометрической сумме и приложенный в точке А, либо

Рис. 11.

другой вектор, получающиеся вследствие переноса вектора R вдоль его линии действия. На рис. 11 результирующий вектор найден путем

последовательного построения векторов ЛР,, PjQg.....Qn-iQn

геометрически равных соответствующим заданным векторам, причем точка А принята за исходную. Результирующий вектор R совпадает с AQ.

Проекции результирующего вектора. Мы уже указывали (п. 4), что проекции X, Y, Z результирующего вектора R на оси координат равны соответственно суммам проекций составляющих векторов:

Х=Х, + Х+ ... +х„.

Моменты результирующего вектора относительно

осей координат. Обозначим через х, у, г координаты точки А. Тогда моменты вектора РС, Kj, Zj) относительно осей координат будут:

L„=-yZ„ - zY, M„r=zXu - xZ, N = xY - yX,

а моменты результирующего вектора относительно тех же осей будут:

LyZ - zY. M=zX~xZ, N = xY - yX. На основании найденных выше значений для X, Y, Z имеем /. = /.1 + -2+ ••• М = М, N = N.

Таким образом, шесть координат X, Y, Z, L. М, N результирующего вектора равны суммам соответствующих координат составляющих векторов.

Так как произвольная ось может быть принята за координатную, то мы видим, что проекция результирующего вектора заданной системы векторов, линии действия которых пересекаются в одной точке, на произвольную ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось; момент результирующего вектора относительно оси равен сумме моментов составляющих векторов относительно этой оси. (Теорема Вариньона.)

Отсюда получаем следующее: момент результирующего вектора системы сходящихся векторов относительно некоторой точки О равен геометрической сумме моментов составляющих векторов. В самом деле, если точку О принять за начало координат, то L, М, N будут проекциями на оси координат момента 00 результирующего вектора относительно точки О, а Z,j, Mj, Л? - проек-