Пусть р - вес единицы длины цепочки. На элемент ds действует сила pds, направленная по вертикали. Следовательно, фигурой равновесия является плоская кривая, расположенная в вертикальной плоскости, проходящей через точки подвеса. Примем эту плоскость за плоскость ху и направим ось у вертикально вверх. Тогда

Yds = -pds, Y-p. и уравнения равновесия будут:

7- = Л

Ady - pds= 0.

(1) (2)

Можно всегда предполагать, что А - число положительное. Действительно, Т - существенно положительно; следовательно, если на кривой выбрать такое направление обхода, чтобы х н s возрастали одновременно,

то производная будет положительной и постоянная А будет, вследствие

этого, тоже положительной. Мы можем обозначить ее через ра, где а -

положительная величина. Заменим ds его значением

fl-s = -f VT+ydx.

Тогда уравнение примет вид dy

Интегрируя, найдем

Рис. 91.

Отсюда следует, что

X-Xt,

/-/1 + у2=-Г «

(3) (4)

Складывая эти два уравнения, получим у и, снова интегрируя, найдем уравнение кривой

/ х-х х-а

->о = Y

с -х,\

Перенесем начало в точку Oi(xo, у) (рис. 91); тогда новое уравнение кривой будет

Это - уравнение цепной линии, которая симметрична относительно оси 0-iyi, ось ОуХу называется ее основанием.

Вычитая уравнение (4) из уравнения (3), получим

/l+y=i.(. « +е

х-хЛ

- Уо = 2

Чтобы получить третье уравнение, напишем, что нить должна иметь длину /. Имеем

ds ==Y \у dx Ы е " -\-е

и, интегрируя в пределах от О до а, получим длину нити:

1.-х.- а-ж„ ж.

1=\е - +е -е - e j (3)

Вычитая равенство (1) из равенства (2), мы исключим уо и ползучим

" (4)

Уравнения (3) и (4) определяют а и х. Из них легко находим:

(Ct-Ж,, -""1 " \

/ 0.-ХЛ X../

Z-p=aV"~ " ) = ae\l~e Для исключения х достаточно почленно перемножить эти равенства. Тогда

;2 р2 = а2С°" -f е" -2). ( -

Скобка равна квадрату величины Хе" - е "/; следовательно, + /Z2Z:j2 =±а{е-е~).

а из формулы (1) получим для натяжения

ах а

Отсюда мы видим, что натяжение нити в точке М равно весу части нити, длина которой равна ординате MQ этой точки над базой. Следовательно, если в точке М поместить бесконечно малый блок и дать возможность части нити, расположенной выше точки М, свободно свешиваться, то равновесие не нарушится, если свешивающаяся часть будет равна MQ.

140. Определение постоянных. 1°. Концы закреплены. Уравнениз цепной линии содержит три постоянных х, уо, а, которые определяются из условий на концах. Согласно принятому ранее условию постоянная а должна быть положительная. Примем за начало О точку закрепления, расположенн}ю более низко, и направим ось х таким образом, чтобы вторая точка закрепления Р находилась в квадранте между положительными координатными осями. Пусть а и р - координаты этой точки, I - длина нити (рис. 91). Напишем условия, выражающие, что кривая проходит через обе точки О (О, 0) и Р{а, р):

-Уо = \е « (1)

"[ie " j. (2)

Может показаться, что следует рассматривать два знака. Но согласно

( ~ -~)

выбору осей величины а и а, и поэтому также яуе" - е "/. должны быть положительными, вследствие чего надо брать только знак +. Положим

= и. Неизвестная и положительна и для нее уравнение имеет вид

Нам нужно найти положительные решения этого уравнения. Заменяя его 1;равую часть разложением в ряд, получим

l-2-З" 1-2-3-4-5

(2л + 1)!-

Здесь правая часть монотонно возрастает от 1 до бесконечности, когда и возрастает от О до бесконечности. Вследствие этого для того, чтобы существовал положительный корень, необходимо и достаточно, чтобы левая часть была больше 1. В этом случае уравнение будет иметь один и только один положительный корень. Следовательно, единственным условием возможности задачи будет

лГ f 8 г

т. е. длина нити должна быть больше расстояния между точками подвеса. Если это условие выполнено, то можно будет определить и и, проследив за всем ходом вычислений, можно легко убедиться, что для трех постоянных а, Xq, Уо будет получаться одна-единственная система значений. Следовательно, в этом случае существует одно и только одно положение равновесия.

Пусть и - положительный корень уравнения для к. Это уравнение имеет также отрицательный корень -и. Пуансо интерпретирует это решение следующим образом: перевернутая цепная линия, для которой и = - и, является фигурой равновесия особого свода, образованного равными бесконечно малыми, идеально отполированными твердыми шариками.

2°. Концы скользят по двум прямым. Допустим, что однородная тяжелая цепочка имеет длину I и что ее концы А и В скользят без трения по двум данным прямым PQ и PR, расположенным в одной вертикальной плоскости (рис. 92). Требуется определить постоянные Xq, уо, а таким образом, чтобы цепная линия пересекала обе прямые линии под прямым углом и чтобы ее д:уга АВ между этими линиями имела заданную длину I.

Предлагая аналитическое решение в качестве упражнения, мы дадим здесь геометрическое решение задачи. Мы будем основываться на том, что ; ве цепные линии, имеющие параллельные основания, подобны, и что, наоборот, фигура, подобная цепной линии с горизонтальным основанием, ):вляется другой цепной линией, расположенной таким же образом. Вообразим вспомогательную цепную линию С с горизонтальным основанием и проведем к ней две нормали АР и ВР, параллельные заданным прямым QPuRP, что всегда возможно и притом единственным образом, так