прямо противоположны, в самом деле, так как главный вектор равен нулю, то вектор Q равен и противоположен вектору Р. Далее, главный момент должен равняться нулю относительно произвольной точки. Примем в качестве нее точку А приложения вектора Р. Момент вектора Р относительно точки А равен нулю, и, следовательно, главный момент приводится к моменту Q, и так как он должен быть равен нулю, то линия действия вектора Q проходит через точку А, что и доказывает предложение.

Так же, как и в алгебре, где разность двух равных величин равна нулю и наоборот, - в теории векторов имеет место следующая теорема:

Для того чтобы две системы скользящчх векторов (S) и (Sq) била эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы система, образованная из векторов (S) и векторов (Sq), после того как направления последних заменены на противоположные, была эквивалентна нулю.

В самом деле, если направления всех векторов системы (Sq) заменить на противоположные, то в полученной новой системе (- Sq) главный вектор и главный момент относительно точки О будут отличаться от соответствующих элементов системы (Sq) только направлением. Следовательно, проекции главного вектора и главного момента всей системы, образованной путем соединения систем (S) и (- So), будут

Х-Хо, Y - Yo, Z - Zo, L - Lo, M-Мр, N-Nf,.

Но для того, чтобы две системы были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти величины равнялись j нулю, что и доказывает теорему. р,

Мы приведем в статике (глава V) примеры наиболее важных систем векторов, эквивалентных нулю.

19. Элементарные операции. Можно получить си- 1 стемы, эквивалентные некоторой заданной системе, при помощи следующих элементарных действий:

Г. Присоединение или отбрасывание двух равных и прямо противоположных векторов. Перенос вектора Рис. 16. вдоль линии действия.

2°. Сложение нескольких сходящихся векторов в один. Разложение вектора на сходящиеся векторы.

Перенос вектора АР в точку В, находящуюся на его линии действия, есть следствие первого действия. В самом деле, приложим в точке В (рис. 16) вдоль прямой АВ два равных и прямо противоположных вектора Р и -Р, из которых первый Р равен Р. Отбросим далее два прямо противоположных вектора Р и -Р. Тогда останется вектор BP, который представляет собой не что иное, как вектор АР, перенесенный в точку В на его линии действия.

Наоборот, прямые комплекса, расположенные в некоторой плоскости Я, проходят через некоторую точку О, для которой главный момент перпендикулярен к этой плоскости. Точку О называют по Шалю фокусом плоскости П. Этот фокус находится на конечном расстоянии, если только плоскость П не параллельна центральной оси.

Если плоскость П поворачивается вокруг некоторой прямой D, то фокус будет перемещаться по некоторой сопряженной прямой Д. Наоборот, если плоскость будет поворачиваться вокруг прямой Д, то ее фокус будет перемещаться по прямой D.

Легко видеть, во что обратятся эти теоремы, если g или r равны нулю.

IV. Эквивалентные системы скользящих векторов. Элементарные операции. Приведение системы скользящих векторов

18. Определение эквивалентности. Две системы скользящих векторов называются эквивалентными, если их главные векторы и главные моменты относительно некоторой точки пространства равны. Тогда будут одинаковыми главные моменты относительно какой угодно другой точки пространства. В частности, обе системы будут иметь одну и ту же центральную ось и один и тот же минимальный момент. Например, система сходящихся векторов эквивалентна главному вектору.

Пусть (S) и (So) - две системы скользящих векторов, X, Y, Z, L, М, N - проекции на оси координат главного вектора и главного момента относительно начала О системы (S), Xq, Fq, Zq, Lq, Mq, Nq-аналогичные величины системы (Sg). Усло-1 ВИЯМИ эквивалентности обеих систем являются равенства:

Х= Xq, к = Fq, Z = Z(„ L = Lq, \g M = Mo, л/=л/о.

Система скользящих векторов, эквивалент-д р пая нулю. Говорят, что система (S) эквива-

лентна нулю, если ее главный вектор и глав-Рис. 15. ный момент относительно какой-нибудь точки

равны нулю. Эти величины будут тогда равны нулю и во всех других точках пространства. Эхвивалентность системы нулю выражается уравнениями

Х=0, F=:0, Z = 0, /, = 0, M = Q, N==0.

Возьмем для примера систему двух равных и прямо противоположных векторов, т. е. систему, образованную двумя векторами Р и -Р, равными и направленными в противоположные стороны вдоль прямой АВ, соединяющей их точки приложения (рис. 15). Эта система, очевидно, эквивалентна нулю. Наоборот,если система двух векторов Р п Q эквивалентна нулю, то эти векторы равны и

прямо противоположны, в самом деле, так как главный вектор равен нулю, то вектор Q равен и противоположен вектору Р. Далее, главный момент должен равняться нулю относительно произвольной точки. Примем в качестве нее точку А приложения вектора Р. Момент вектора Р относительно точки А равен нулю, и, следовательно, главный момент приводится к моменту Q, и так как он должен быть равен нулю, то линия действия вектора Q проходит через точку А, что и доказывает предложение.

Так же, как и в алгебре, где разность двух равных величин равна нулю и наоборот,-в теории векторов имеет место следующая теорема:

Для того чтобы две системы скользящчх векторов (S) и (5о) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы система, образованная из векторов (S) и векторов (Sq), после того как направления последних заменены на противоположные, была эквивалентна нулю.

В самом деле, если направления всех векторов системы (So) заменить на противоположные, то в полученной новой системе (-So) главный вектор и главный момент относительно точки О будут отличаться от соответствующих элементов системы (Sq) только направлением. Следовательно, проекции главного вектора и главного момента всей системы, образованной путем соединения систем (S) и (- So), будут

Х-Хо, К -Ко, Z -Zo, L - Lo, М -Жр, N - N.

Но для того, чтобы две системы были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти величины равнялись I нулю, что и доказывает теорему.

Мы приведем в статике (глава V) примеры наиболее важных систем векторов, эквивалентных нулю.

19. Элементарные операции. Можно получить системы, эквивалентные некоторой заданной системе, при помощи следующих элементарных действий:

1°. Присоединение или отбрасывание двух равных и прямо противоположных векторов. Перенос вектора Рис. 16. вдоль линии действия.

2°. Сложение нескольких сходящихся векторов в один. Разложение вектора на сходящиеся векторы.

Перенос вектора АР в точку В, находящуюся на его линии действия, есть следствие первого действия. В самом деле, приложим в точке В (рис. 16) вдоль прямой АВ два равных и прямо противоположных вектора Р и -Р, из которых первый Р равен Р. Отбросим далее два прямо противоположных вектора Р и -Р. Тогда останется вектор BP, который представляет собой не что иное, как вектор АР, перенесенный в точку В на его линии действия.