Покажем теперь, что оба указанных элементарных действия не изменяют ни главного вектора, ни главного момента относительно произвольной точки.

Приняв эту точку за начало, необходимо показать, что шесть сумм

Y=Y, ZZ,

не изменяются. В самом деле, присоединение или отбрасывание двух равных и прямо противоположных векторов означает добавление или отбрасывание в каждой сумме двух слагаемых, равных по величине и противоположных по знаку. Замена нескольких сходящихся векторов их равнодействующим вектором означает замену сумм проекций этих векторов проекциями их равнодействующего вектора в первых трех суммах и сумм моментов этих векторов - моментом равнодействующего вектора в последних трех суммах. Но это сводится к замене нескольких слагаемых в каждой из указанных сумм их суммой. Точно так же и разложение вектора на несколько сходящихся векторов не изменяет ни одной из шести указанных сумм.

Можно попытаться заменить при помощи элементарных действий заданную систему векторов (5) более простой эквивалентной ей системой.

20. Приведение к двум векторам. Система скользящих векторов может быть заменена бесчисленным множеством способов двумя векторами, из которых один проходит через произвольную точку.

Мы покажем сначала, что система

Pi, Р2..... Рп эквивалентна трем

векторам, приложенным в произвольно взятых точках О, О, не лежащих на одной прямой (рис. 17).

Разложим вектор AiP на три составляющих вектора, направленных соответственно по прямым ОЛ, ОА, ОА. После этого, перемещая точки приложения каждого составляющего вектора вдоль его линии действия, перенесем первыйсоставляющий вектор в точку О, второй составляющий - в точку Oj и третий составляющий- в точку Oj. Точно так же разложим вектор АР, на три составляющих вектора, направленных вдоль прямых ОА, ОА., ОА, перенесем их в точки О, Ор О2 и так продолжаем далее. Векторы, приложенные в точке О, имеют результирующую Ri, векторы, приложенные в точке Oj, имеют результирующую /?2, и приложенные в точке Oj -

• прямая

результирующую R3. Таким образом, заданная система векторов заменилась эквивалентной системой трех векторов R, R2. R3, приложенных в трех произвольных точках О, О,, Oj.

Мы разложили вектор Pi на три вектора, направленных по прямым OAi, OAi, ОА. Это разложение возможно всякий раз, когда точка А не находится в плоскости трех точек О, О,, О. В таких случаях указанные прямые образуют триэдр. Если точка А находится в плоскости 00,62, но вектор Р, в ней не лежит, та точку приложения этого вектора можно переместить вдоль его линии действия так, чтобы она не лежала в указанной п.аоскости. Если же сам вектор также лежит в плоскости, то его можно разложить на два вектора, направленных по ОЛ, и ОЛ,.

Мы заменили заданные векторы тремя векторами Р,, Pj, /?з, приложенными в трех произвольных точках О, О,, Oj. Эти три вектора можно привести к двум. Пусть 0L (рис. 18) пересечения двух плоскостей, из которых одна проведена через точку О и вектор Ro, а другая - через точку О и вектор 3. Выберем на этой прямой произвольную точку О. Вектор Pg, находящийся в первой плоскости, может быть разложен на два вектора, направленных вдоль прямых 00,, ОО; мы перенесем эти слагаемые - одно в точку О, а другое в точку О. Точно так же вектор R, расположенный во второй плоскости, может быть разложен на два, направленных вдоль прямых ОО2 и ОО; перенесем пер-вый из них в точку О, а второй в точку О. Мы получим три вектора, приложенных в точке О, и два вектора, приложенных в точке О. Первые три имеют результирующую F, а два других результирующую Ф. Таким образом, система трех векторов R, R, R3, а следовательно и система заданных векторов, заменилась эквивалентной системой двух векторов F и Ф, из которых один приложен в произвольной точке О.

Если оба вектора, R2 и R, и точка О расположены в одной плоскости, то в качестве 0L может быть взята любая прямая этой плоскости, проходящая через точку О.

Существует бесчисленное множество способов приведения заданной системы векторов к двум векторам. Заметим прежде всего, что можно изменять векторы Р к Ф без изменения точек О и О их приложения. Вообразим, в самом деле, что к двум концам отрезка 00 приложены два равных и прямо противоположных вектора /и - /. Два вектора F и /, приложенные в точке О, можно

сложить и привести к одному вектору 5 и два вектора Фи -/, приложенных в точке О, - к одному вектору S. Система двух векторов F и Ф заменилась, таким образом, эквивалентной системой двух векторов 5 и S. Вектор S расположен в определенной плоскости - в плоскости, проходящей через точку О и вектор Ф. Точка приложения О вектора 5 является произвольной. Закрепив эту точку, можно перемещать произвольным образом точку О по прямой ОЕ и, следовательно, также по всей плоскости ООФ, так как модуль вектора - / произволен.

В общем случае два вектора F к Ф, эквивалентные всем заданным векторам, не лежат в одной плоскости.

Главный вектор и главный момент первоначальной системы относительно произвольной точки равны главному вектору и главному

моменту системы двух векторов относительно той же точки (рис. 19). Например, если взять какую-нибудь точку А на линии вектора F, то главный вектор AR в точке А получится путем сложения вектора AF, геометрически равного вектору F, и вектора АФ, геометрически равного вектору Ф. Главный момент AG относительно точки А равен моменту вектора Ф, так как момент вектора F равен нулю. Вектор AG будет перпендикулярен плоскости АОФ и точка А будет ее фокусом (п. 17).

Следовательно, фоку« плоскости, проходящей через один из векторов F или Ф, расположен на другом векторе, и эти векторы лежат на двух сопряженных прямых D и Д.

Любая прямая, пересекающая одновременно линии действия векторов F У1 Ф, является, очевидно, прямой нулевого момента. Наоборот, если какая-нибудь прямая нулевого момента пересекает линию действия вектора F, то она пересекает также и линию действия вектора Ф на конечном или бесконечном расстоянии, так как поскольку момент вектора F относительно этой прямой равен нулю, то и момент вектора Ф относительно нее должен также равняться нулю.

В разделе упражнений будет показано, что систему векторов можно всегда привести к таким двум векторам, из которых Ъдин лежит на произвольной прямой, не параллельной главному вектору.

21. Геометрическое истолкование инварианта LX-\ MY-\- NZ. Обозначим через X, Y, Z, L, М, N, X", Y", Z", L", М", N" проекции н моменты двух векторов F \i Ф, эквивалентных заданной системе. Имеем:

Х = Х + X", L = L+L", ...