уравнений:

Эти уравнения совместно с h уравнениями связей (1) составляют полную систему Зи--А уравнений, определяющих Зл координат и h вспомогательных неизвестных X.

Таковы общие уравнения равновесия.

Как только коэффициенты X будут известны, так сейчас же можно будет определить и реакции связей. В самом деле, мы видим, что уравнения равновесия не изменятся, если отбросить связь = О и присоединить к заданным силам, действующим на точку М„ силу

с проекциями \ , X, , Xj ; эта сила является действием

связи на точку М,, т. е. тем, что мы называем реакцией связи. Мы

непосредственно имеем величину этой силы; ее направление dfx dfx

-j, нормально к поверхности, которая получится, если предположить, что в уравнении /, = О всем координатам, кроме х,, у„ 2,, приданы численные значения, соответствующие положению равновесия, а координаты х„ у„ г, являются текущими.

Пример. Применим предыдущие рассуждения к равновесию веревочного многоугольника с п сторонами, концы которого закреплены в двух заданных точках. Здесь будет п уравнений связи, а именно:

Т (X, -x+iP + Cyv -У.+1Р + (г,-г,+,Я-. = 0 (v = О, 1, 2.....п-\).

причем координаты Xq, уо, Zq и х„, у„, z„ даны. Общие уравнения равновесия будут

Y,JrK-x +К =0.

Они действительно совпадают с теми, которые получатся при помощи элементарных методов, если выразить, что сила F, уравновешивается натяжениями двух нитей, оканчивающихся в точке М,. Так как коэффициенты при X в этих уравнениях равны направляющим косинусам сторон веревочного многоугольника, то эти X являются абсолютными значениями натяжений.

X, + Х,Л,, + Х2Л2, + .. . + ХИй, = О,

К,+ХуВу, + )В2, +----h КВн. = о,

+ hCi, + Х2С2, + . . . + XftCft, = о 2.....л).

179. Приложение принципа возможных скоростей к равновесию нитей. Пусть rfs -элемент нити и Xds, Yds, Zds - проекции равнодействующей приложенных к нему внешних сил. Для возможного перемещения, сообщенного элементу ds, работа этой силы равна

{ХЬх+УЬу + Zb2)ds,

где Ьх, 6у, Ьг должны рассматриваться как функции дуги s, так как каждый элемент нити получает перемещение, изменяющееся с его положением на нити. Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ

§= j (Xbx-JrYby+Zbz)ds о

была равна нулю для всех перемещений, допускаемых связями. Допустим для определенности, что нить закреплена обоими концами; тогда Ьх, Ьу, Ьг обращаются в нуль на обоих пределах интеграла. Так как, кроме того, нить нерастяжима, то

причем последние направлены вдоль сторон. Мы действительно видим, что они нормальны к поверхностям

l(v - .±l) + (У. - 3.±1? + к - v±l)2 = или

где только л:,, у,, г, являются переменными, так как эти поверхности являются сферами с центрами в точках М,+х и iM, i.

178. Случай неголономной системы. Тот же метод применим к такой системе точек, для которой возможные перемещения, допускаемые связями, определяются h соотношениями вида

Аг 81+1181 + Сп Ьг,+.. . +Л,„ Ьх„+В,„ Ьу„-С,„ bz„ = О, ] 1 81+21 Ух + 82,4- • • • +Л» 3x„+S2„ 83;„+Q„ 32„ = О, [

м8х1+5ыЗл+См82,+ . . .+;.„3x„+B„33;„+Q„32„=0,

где коэффициенты А. В, С суть функции координат и где левые части не являются точными полными дифференциалами, как в предыдущем пункте. Мы видим, что по-прежнему к = Ъп--h вариаций 8х,, 1у,, bz, произвольны. Далее, поступая с этими соотношениями (5) так же, как и с соотношениями (3), мы получим уравнения равновесия в виде

откуда, выражая, что вариация левой части равна нулю и замечая, что ва-

dx dbx

риация производной равна производной от вариации, например, ъ - = ,

получим

dx dbx dy dby dz d bz

ds ds

ds ds

ds ds

= 0.

Это условие показывает, что в качестве Ьх и 8у можно принять произвольные функции от S, обращающиеся в нуль на пределах О и /; определяется из соотношения (2):

dx dbx . dy d

dby\ ds )•

ds \ dz ds dz ds Отсюда, интегрируя и замечая, что Ьг обращается в нуль вместе с s, получим

dx dbx dy dby

dz ds

dz ds

Ho необходимо, чтобы 8 обращалось в нуль и на втором конце, где S = /; следовательно, Ьх и 8у должны удовлетворять условию

Лdx dbx , dy dby\

Необходимо теперь выразить, что Ш обращается в нуль, для любых функций Ьх, Ьу, bz, обращающихся в нуль на пределах и удовлетворяющих соотношениям (2) и (3). Обозначим через 1 пока произвольную функцию дуги S и через k - постоянную. Имеем

§= J(XbxYby + Zbz)ds + \{-dbx + dby+dbz.

dx dz

dbx +

Интегрируя последние члены по частям и полагая = ~(x-b"j л можем написать

= J[[xds + d[T-±)]bx +

так как проинтегрированная часть обращается в нуль на пределах.

Для того чтобы было равновесие, необходимо и достаточно, чтобы это выражение сГ было равно нулю, каковы бы ни были функции Ьх, 8у и X от s. Распорядимся функцией 1 так, чтобы обратить в нуль коэффициент при bz. Тогда оставшееся выражение должно обращаться в нуль, каковы бы ни были функции 6х и 8у в промежутке (О, /); для этого необходимо, чтобы