4. В предыдущей задаче предполагается, что точка В, в которой стержень опирается на вертикальную плоскость, перемещается по вертикали в этой плоскости. Определить: 1) крайние точки, между которыми должна перемещаться точка В по этой вертикали и 2) кривую, внутри которой должна находиться точка А, чтобы было равновесие.

5. Однородный тяжелый цилиндр вращения положен на наклонную плоскость таким образом, что его образующие горизонтальны. Известен коэффициент В трения качения. Какое наименьшее значение нужно придать наклону плоскости, чтобы началось качение? (В этом упражнении допускается, что качение начинается при меньшем наклоне плоскости, чем при скольжении.)

6. Однородная тяжелая цепь положена на поперечное сечение круглого цилиндра, ось которого горизонтальна, таким образом, что концы свешиваются с обеих сторон цилиндра. Каковы возможные положения равновесия если предположить, что имеется трение?

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ

ДИНАМИКА ТОЧКИ

ГЛАВА X

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ. ДВИЖЕНИЕ СНАРЯДОВ

I. Общие теоремы

198. Уравнения движения. Интегралы. В главе 1П мы видели, что если точка М находится в движении под действием некоторых сил, имеющих равнодействующую F, то ускорение j этой точки и сила F имеют одинаковые направления и их величины связаны соотношением

Fmj.

где т - масса точки. Говоря на языке алгебры, мы получили дифференциальные уравнения движения.

Пусть X, у, я - координаты движущейся точки относительно трех произвольных осей, X, Y, Z-составляющие силы F по этим осям. Проекции силы F равны проекциям ускорения j, умноженным на массу т, и мы получаем таким образом три уравнения движения

dx rf«y „ .7 ...

т- = Х. m-J-=Y. rn- = Z. (1)

Если предположить, что точка М совершенно свободна, то действующие на нее силы зависят, в общем случае, от положения, скорости и времени. Следовательно, проекции X, Y, Z равнодействующей являются заданными функциями от х, у, г, , W т. е. от X, у, Z, х, у, г, t, если употреблять обозначения Лагранжа для производных: = х, ... Тогда уравнения (1) образуют систему трех совместных дифференциальных уравнений второго порядка, определяющих х, у, г ъ функции t. Эту систему можно заменить системой шести совместных уравнений первого порядка

dx X df Y dzZ

dt ~~ т dt т dt т

определяющих переменные х, у, г, х, у, г в функции Общие интегралы этих уравнений содержат шесть произвольных постоянных; они имеют вид:

л: = ср(Л d, Сз, Сз, Q, С5. Се). y = {t, С„ Сг, Сз, С4, С, Се), г = и)(/, Cj, Cj, С3, С4. Cg, Се). J

откуда получаем:

х = ср(Л Ci.....Се),

y = f (Л С,.....Се),

y = Q. Се), J

где ср, ф. обозначают производные от ср. ф, ш по времени /.

В каждой частной задаче произвольные постоянные должны быть определены при помощи начальных условий. Задаются положение и скорость движущейся точки в момент t = to, нужно определить

Су, С2.....Се так, чтобы при t = to величины х, у, z приняли

наперед заданные значения Xq, Уо, Zq, а величины х, у, г - наперед заданные значения х, у, г. Чтобы такое определение было возможным, каковы бы ни были заданные начальное значения для Л, у, г, х, у, г, необходимо, чтобы можно было разрешить, по срайней мере теоретически, шесть уравнений (2) и (3) относительно Су, Cj, .. ., Се, т. е. чтобы эти уравнения (2) и (3), в которых Су, С, .... Cg рассматриваются как неизвестные, не были ни несовместными, ни неопределенными. Тогда для этих шести постоянных получатся значения вида

Ck-hit, X, у, г, х, у, Z) (ft=- 1, 2.....6), (4)

которые непосредственно определят численные значения постоянных, когда заданы начальные значения переменных х, у, г, х, у, г.

Допускается, что заданным начальным условиям отвечает только одно движение. Это обстоятельство, в котором мы будем убеждаться во всех примерах, изучаемых дальше, вытекает из тео ремы Коши при условии, что X, Y, Z являются регулярными функциями от лг, у, Z, х, у, г, t. Но это предполагается во всех случаях, встречающихся в явлениях природы. Вследствие этого, если каким-нибудь образом удастся найти какое-нибудь возможное движение, т. е. удовлетворяющее уравнениям движения и начальным,условиям, то это движение будет тем, которое действительно совершает точка.

199. Первые интегралы. Первым интегралом уравнений движения называется соотношение вида

Ф(Л X, у, Z. х, у, г, С) = 0,

связывающее х, у, г, х, у, г и одну произвольную постоян-