С flit, x, у, г, x, у, г), C" = U{t, x. у, z, х, у, г),

CM=.f{t. x. у. z, х, у, z)

являются независимыми, когда из них нельзя исключить все величины x, у, Z, х, у, г. Если такое исключение возможно, то оно приведет к соотношению между постоянными С, С".....С", которое, очевидно, не может содержать независимую переменную являющуюся произвольной. Отсюда следует, что число независимых первых интегралов, которые можно найти, равно шести, так как если V больше 6, то всегда можно исключить шесть величин х, у, г, х, у. г.

Если известны v первых интегралов (6), то в уравнениях (1) можно уменьшить на v единиц число неизвестных. Действительно, из уравнений (6) можно выразить v этих неизвестных в функции 6 - V остальных неизвестных и времени t.

Например, шесть уравнений (4), полученных после разрешения общих интегралов уравнений движения относительно произвольных постоянных, образуют шесть независимых первых интегралов.

ную с и имеющее место вследствие уравнений движения, каковы бы ни были начальные условия. Можно всегда представить это соотношение, разрешенным относительно С и написать его в виде

С = /( x, у, z, х, у, г). (5)

Нетрудно непосредственно проверить, что соотношение такого вида является первым интегралом. Дифференцируя по t, получим

о. - г О- у L d"" 1 I - n

It dx djy dF dldfWd df

или, заменяя вторые производные от х, у, z их значениями, взятыми из уравнений движения, получим

Это последнее уравнение содержит только величины t, х, у, z, х, у, z и так как оно должно иметь место, каковы бы ни были начальные условия, т. е. каковы бы ни были значения, приписываемые этим величинам, то оно должно удовлетворяться тождественно.

Практическая полезность какого-либо первого интеграла с точки зрения интегрирования уравнений (1) заключается в том, что он позволяет понизить на одну единицу число неизвестных. В самом деле, соотношение (5) позволяет выразить одну из неизвестных х, у, г, х, у, г как функцию остальных неизвестных и t.

Несколько первых интегралов

Наоборот, если известны шесть независимых первых интегралов вида (6), где целое число v равно шести, то из этих уравнений после разрешения относительно х, у, г, х, у, z получится общий интеграл уравнений движения.

Аналогичные рассуждения применимы, как мы увидим дальше, и к движению точки по кривой или по поверхности.

По вопросам анализа, с которыми мы здесь столкнулись, мы отсылаем к нашему Cours dAnalyse й IEcole Cenfrale, гл. XXII.

200. Естественные уравнения (Эйлер). Возьмем на траектории начало О дуг. Движение по этой кривой определено, если дуга ОМ - s является известной функцией времени. Проведем касательную Ж Г в сторону положительных дуг (рис. 128). Условимся считать скорость положительной, если движение происходит в сторону МТ, и отрицательной, если оно происходит в обратную сторону. Тогда скорость по величине и знаку будет

Рис. 128.

Пусть У-ускорение движущейся точки. Как известно, его проекции на касательную и главную нормаль выражаются соответственно формулами (п. 41):

, V-

, dv ds

t - lu -

dt"-

a проекция на бинормаль равна нулю. Так как вектор силы равен вектору ускорения, умноженному на массу, то обозначая через F, f „, Ff, проекции силы F на касательную, главную нормаль и бинормаль, получим:

d"-s . mv р

о dv

т

Эти три уравнения образуют систему, эквивалентную трем уравнениям движения. Так как F„ всегда положительно, а всегда равно нулю, то сила всегда лежит в соприкасающейся плоскости траектории и направлена в сторону вогнутости последней.

Если сила все время нормальна к траектории, то Fj = 0, скорость постоянна и сила обратно пропорциональна радиусу кривизны.

Если сила все время касательна к траектории, то F„ = /и - = О

и так как v не равно нулю, то р равно бесконечности, т. е. траектория есть прямая линия.

Можно установить отмеченные уже Маклореном интересные аналогии между этими уравнениями и уравнениями равновесия нити. Мёбиус указал большое число таких аналогий в своей Статике, так же как и Оссиан Бонне в томе IX Journal de Mathematiques и П. Серре в своей Theorie nouvelle des lignes a double courbure (Mallet-Ba-chelier, 1860). (См. упражнения.)

Мы переходим теперь к выводу теорем, позволяющих во многих случаях найти первые интегралы.

201. Количество движения. Количеством движения точки М называют вектор MQ, который направлен по линии скорости в ту же сторону, что скорость, и длина которого равна произведению скорости на массу: mV. Так как проекции скорости на оси равны

то проекции количества движения будут

dx dy dz ,

ЧГ "dt ""чг-Моменты количества движения относительно осей координат равны

так что момент количества движения относительно точки О есть вектор 00, проекции которого равны только что написанным величинам,

202. Теорема о проекции количества движения. Первое уравнение движения может быть написано так:

Так как ось х произвольна, то это уравнение выражает следующее: Производная по времени от проекции количества движения на какую-нибудь ось равна проекции на ту же ось равнодействующей всех сил, приложенных к движущейся точке.

В частности, если сумма проекций сил на ось все время равна нулю, то по этой теореме получается первый интеграл. В самом деле, приняв эту ось за ось Ох, имеем

d ( dx\ г, dx .

где значение постоянной А равно проекции на ось Ох начального количества движения. Интегрируя вторично, получим

mx = At + A,

т. е. движение проекции точки на ось Ох является равномерным.

Пример. Параллельные силы. Если сила F параллельна определенному направлению, то траектория будет лежать в плоскости, параллельной этому направлению. В самом, деле, приняв за ось Ох