После второго интегрирования найдем ( t

тх= f J ср (/) dt

«о

dt + mVQ (t - to) + mxQ.

211, Приложение к движениям, происходящим под действием силы„ зависящей только от положения.

1°. Вертикальное движение тяжелого тела в пустоте.

В качестве оси примем направленную вверх вертикаль, проходящую через начальное положение точки. Обозначим через Vq алгебраическое значение начальной скорости, которое предполагается вертикальным. Сила, действующая на точку, равна в каждый момент времени -mg, н поэтому уравнение движения будет

d-x dx

Интегрируя первый раз,, находим dx

= v = -gt + «о, (2)

причем время отсчитывается от того момента, когда точка начинает двигаться. Интегрируя второй раз, получим

х-Л + Vot, (3)

и Проинтегрировав, получим

с mdv ,

«о

Так как dx = vdt, то

, mv dv Г mv dv ,

dx - --r-r-, x= --\- Xn-

Здесь X к t получились выраженными в функции вспомогательной переменной v. Последнее уравнение mvdv = f {v) dx вытекает также из теоремы кинетической энергии,, так как ср (v) dx есть элементар-

пая работа силы и mvdv~ d niifi.

3°. Сила зависит только от времени. Если, наконец, X есть-функция только времени t, то имеем

Интегрируя первый раз, получим

= f <?(t)dt + mVo.

..-а -.

этой высоте каждый раз через одну и ту же поверхность ,»--Л>--. X уровня.

-ГГ 2 S 2°. Движение материаль-

- ной точки, притягиваемой

неподвижным центром О про-Рис. 132. порционально расстоянию.

Примем точку О (рис. 132) за начало, а за ось - прямую OMq, которая будет траекторией. В качестве положительного направления примем OMq, где Mq - начальное положение точки, и обозначим через Vq начальную скорость.

Рассмотрим случай притяжения. В этом случае сила в какой-нибудь момент времени будет равна - (хх, где л положительно, каково бы ни было

положение точки, справа или слева от 0. Полагая - = й, получим уравнение

движения

+ ЙД: = 0. (1)

Это уравнение является линейным уравнением с постоянными коэффи-диентами без правой части. Его общий интеграл имеет вид

х = Асо%М-{-В sin kt,

где А и В - две постоянные. Скорость v есть производная от х по t

v = - Ak sin kt -f Bk cos kt.

Для определения постоянных дадим величинам х к v начальные значения Xq и Vq, которые они имеют при = 0. Получим

Xq = А, fо = Bk.

Значение х будет тогда

x = Xq cos kt-\- sin kt. (2)

если абсциссы отсчитываются от начального положения точки. Если положительно, то скорость, будучи вначале положительной, затем убывает и обращается в нуль по истечении промежутка времени V(,lg. Начиная с этого момента, скорость становится отрицательной и неограниченно увеличивается по абсолютному значению. Исключая t из равенств (2) и (3), найдем

v- = vl - 2gx.

К этому же соотношению можно прийти, применяя теорему кинетической энергии, т. е. умножая обе части равенства (1) на и интегрируя.

Таким образом,

v±Yvl-2gx .

При сделанном нами предположении, что Vq > О, точка начинает двигаться вверх и в начале движения ее скорость положительна. Следовательно, перед радикалом надо взять знак-}-. Пока х будет увеличиваться до 1/2, скорость будет уменьшаться до нуля, после чего точка начнет падать и тогда перед радикалом надо будет взять знак -. Полученное нами выражение для скорости показывает, что на одной и той же высоте, как при движении вверх, так и лри движении вниз, точка имеет скорость, одинаковую по абсолютному

значению. Точка проходит на

при х = Xq должно быть V = Vq, следовательно, hvl + k?xl

и h является существенно положительной величиной, большей, чем kx или равной ей; следовательно, мы можем предположить, что h = ka, причем а>Хо. Тогда уравнение движения принимает вид

[чгУ = ( - •)- = ± * v, (4)

и время t определяется элементарной квадратурой

ж»

приводящейся к арксинусу. Мы приходим, таким образом, с иной точки зрения к уравнению движения (2). Формула (4) показывает, что х может изменяться только между - а к-\-а для того, чтобы радикал был вещественным. Когда X изменяется от - а до а перед радикалом (4) следует брать знак -j-, а когда х уменьшается от -f а до - а, нужно брать знак - .

3°. Точка отталкивается неподвижным центром пропорционально расстоянию. Уравнение движения

dx d-x

dt dt

является линейным с постоянными коэффициентами и его общий интеграл имеет вид

е + е-" VQ е-е-"* x-Xq 2 I- k 2

где Xq п Vq - начальные абсцисса и скорость. Если

1/0 = - kXQ,

Следовательно, движение является простым колебанием периода Т = ~ (вперед и обратно). Для нахождения амплитуды колебания положим:

Хс,= а cos а, = - а sin а, а = + 1 / „2 i

k / -0 -г fe2 •

Тогда

x = acos (kt + а). (3)

Следовательно, х изменяется от - а до + а, т. е. амплитуда равна а. Если начальная скорость равна нулю, то

х = Xq cos kt.

В этом случае время, необходипое точке для достижения положения О, равно четверти периода Т, т. е. тс/2й. Оно не зависит от Xq. Этот результат выражают, говоря, что движение является таутохронним.

Применение теоремы кинетической анергии. Умножая обе части уравнения движения на 2dx и интегрируя, получим