остается конечным, когда х стремится к а. В точке а скорость обращается в нуль и дальнейшее движение будет происходить в направлении силы. При этом точка обязательно пойдет обратно, так как если х перейдет

через а, то станет мнимым. Если особенность х - а будет двойным или

кратным корнем, то движущаяся точка будет сколь угодно близко подходить к точке а, но не достигнет ее за конечный промежуток времени, так как, предполагая корень двойным, имеем

Пх) = {а-х)Щх),

н вследствие этого

=(а-х)/Н, где функция ii{x) будет по-прежнему положительной между х и а. Время

] (а-х)УН)

необходимое движущейся точке для прохождения расстояния от х до х, неограниченно возрастает, когда х стремится к а. Можно заметить, что если х = а является двойным корнем, то соответствующее положение является положением неустойчивого равновесия. Действительно,

f{x) = {a-xf{x)

Допустим, например, что следует взять знак +; тогда движущаяся точка будет удаляться в положительном направлении. Единственными особенностями являются нули и бесконечности функции f{x). Допустим, что при возрастании X мы придем сначала к точке, в которой функция / бесконечна. В этом случае движущаяся точка будет перемещаться с неограниченно возрастающей скоростью в положение а, соответствующее этой бесконечности; данный результат и дает решение задачи. (Физически такой случай невозможен). Допустим теперь, что первой особенностью является простой нуль. Тогда можно написать

/(лг) = (а-лг)Л(лг), где 4* не обращается в нуль между Xq и а, и мы получим

При этом функция il (х) в промежутке от Xq до а должна быть положительной для того, чтобы было вещественным. Движущаяся точка подходит

сколь угодно близко к точке а с абсциссой а, так как на отрезке м(,в (рис. 134) скорость не обращается в нуль и, следовательно, превосходит некоторую положительную величину Vy. Поэтому движущаяся, точка обязательно достигает положения в. Но она достигает также за конечный промежуток времени и положения а, так как время, необходимое ей для прохождения расстояния от Xq до х, равное

Отсюда, дифференцируя, получим для силы выражение

X = (дг) = -1 (а - xf У (х) 2 (а - лг) ф (х) ],

которое действительно обращается в нуль при х = а. Но если сила при х = я обращается в нуль,то соответствующее положение А есть положение равновесия. Оно неустойчиво, так как если точку бесконечно мало удалить от этого положения, сообщив абсциссе х значение, меньшее чем а, но бесконечно к нему близкое, то вышенаписанное выражение, в котором \i(x) положительно вблизи x - а, показывает, что X станет отрицательным; следовательно, точка стремится двигаться в отрицательном направлении и еще более удаляться от положения равновесия.

Часто встречающимся частным случаем является следующий: точка выходит из положения xq со скоростью Vq и первыми особенностями, которые встречаются при увеличении х или при его уменьшении, являются два простых нуля а и с функции /(х), где а > Хо > с. Тогда можно написать

f{x) = (a-x)(x-c)(x), где {х) - положительно между а и с. В этом случае имеем

Г dx

J ±Y{a-x)(x-c) V

где попеременно нужно брать знаки -f- и -, так как, согласно предыдущему движущаяся точка будет колебаться между двумя точками Л и С с абсциссами а и с (см. рис. 134). Продолжительность колебания (вперед и назад) равна

J Y{a-x){x-c) V¥(x)

Если, следовательно, х рассматривать как функцию от t (обращение интеграла), то х будет периодической функцией с периодом Т. Согласно теореме Фурье x можно разложить в тригонометрический ряд вида

х = aQ-\-aiCos - + by sin -у- -f аз cos - -f *2 sin -у- -f ...,

сходящийся при всех значениях t. Определение коэффициентов а„ и 6„ представляет большие трудности, кроме случая, когда >i (х) является относительно х многочленом степени, меньшей или равной двум. Тогда х является круговой или эллиптической функцией аргумента t. По вопросу вычисления этих коэффициентов в общем случае отсылаем к работе Вейерштрасса «Ueber eine Qattung reel periodischer Funktioiien* (Monatsbericht der Akad. der Wissen, zu Berlin). Можно получить приближенную формулу для закона движения, применяя метод, указанный Аппеллем (Comptes Rendus, т. 160, 1915, стр. 419).

и, кроме того,

212. Движения под действием силы, зависящей только от скорости. Вертикальное движение снаряда в сопротивляющейся среде. До сих пор мы рассматривали примеры, в которых сила зависела только от положения точки. Перейдем теперь к кругу вопросов, в которых приходится рассматривать материальную точку, находящуюся под действием силы, зависящей только от скорости. Вообразим тяжелое тело, движущееся в такой сопротивляющейся среде, как воздух. Среда оказывает на каждый элемент поверхности тела некоторое действие и все эти действия складываются в одну силу и одну пару, приложенные к телу. В частном случае, когда снаряд является телом вращения и совершает поступательное движение, параллельное оси вращения, из соображений симметрии очевидно, что пара равна нулю и что равнодействующая всех действий среды на элементы поверхности тела является силой, направленной вдоль оси в сторону, противоположную движению. Такое явление можно наблюдать, например, когда шар или снаряд цилиндрическо-конической формы падает в неподвижном воздухе по вертикали.

Займемся этим частным случаем. Согласно теореме движения центра тяжести, которую мы докажем позднее, движение центра тяжести будет таким, как если бы в нем была сосредоточена вся масса тела и если бы в него были перенесены параллельно себе все приложенные к телу внешние силы. Следовательно, центр тяжести движется, как тяжелая точка, находящаяся под действием вертикальной силы R, направленной в сторону, противоположную скорости. Мы приходим таким образом к необходимости исследовать движение материальной точки под действием ее веса и силы сопротивления R. Опыт показывает, что при очень малых скоростях сопротивление почти пропорционально скорости v. Если скорость заметна, но все же меньше чем 200 м/сек, то сопротивление изменяется пропорционально •у. При больших скоростях необходимо ввести члены с или с •уЧ Нельзя, по-видимому, выразить закон сопротивления простой формулой. Сиаччи предложил формулу, совпадение которой с экспериментом заслуживает внимания. Эта формула была исследована Шапелем в Revne dArtil-lerie (т. XLVIII, апрель - сентябрь 1896). Мы будем исходить из общего предположения, что сопротивление выражается в функции скорости формулой

R = mg<f iv),

где ср(у) - положительная и возрастающая функция от v. Так как тело, если его предоставить самому себе без начальной скорости, будет падать, то сопротивление при v - 0 должно быть меньше веса, и, следовательно, ср(0)< 1. Допустим, кроме того, что для каждого положительного значения переменной функция имеет конечную,

положительную и не равную нулю производную. Через X обозначим то значение v, при котором сопротивление равно весу, т. е. ср(Х)= 1.