Разделив обе части на -Vnln и приняв за новую переменную l/t/n. получим

da t»» COS а ) COS о

= 0.

Для интегрирования этого линейного уравнения положим после чего получим

COS а

= 0.

Выберем q таким образом, чтобы обратить в нуль коэффициент при р\ получим уравнение

dq па da

- = - nWada--,

q cos а

допускающее частный интеграл

In 9 = л In cos а - па In tg (у + •

9 = cos»a[tg(-2 +)J •

•При этом значении q нам останется для определения р проинтегрировать уравнение

dp nb

da q cos a

Естественное уравнение. Если функция ф известна, то легко найти естественное уравнение кривой. Действительно, мы нашли, что

- = jgcosa, Р

следовательно,

g COS а cos а

Случай интегрируемости Лежандра. Мы исследуем со всеми подробностями случай, когда, по предположению, сопротивление определяется формулой

<f{v) = a-\- ftt;»

где все три постоянные а, Ь, п положительны. Мы будем предполагать, что а меньше единицы, так как в противном случае, если тело отпустить без начальной скорости, его вес будет меньше силы сопротивления mga, и тело не будет падать.

Для рассматриваемого движения уравнение (3) примет вид

dv , a-\-bvn

--- = tg о Н--!-.

vda = cos о

qvn J

qv" J cos a

где постоянная С имеет значение --. в чем убеждаемся, положив а = oq.

Подставив сюда найденное выше значение для функции q, получим v в функции а. После этого найдем х, у, t по формулам (4) и (5).

Покажем, что если а убывает до -?У2, то время неограниченно увеличивается, и у становится бесконечным, но отрицательным, тогда как v п х оба имеют определенные пределы, так что кривая имеет вертикальную асимптоту на конечном расстоянии и движение стремится стать прямолинейным и равномерным.

В самом деле, выражение, определяющее величину -~ после умножения на q, может быть написано следующим Образом:

Когда а стремится к - у 9 стремится к нулю, так как а меньше 1; с другой стороны, интеграл в правой части обращается при этом в бесконечность. Так как член - стремится к нулю, то достаточно найти предел второго

члена правой части, который может быть написан в виде отношения

-пЬ (- J 9 cos а

принимающего вид -. Отношение производных по а равно

nbq da cos а dq

q da

или, заменяя - его вычисленным выше значением, получим

- sin а - а

Полагая, наконец, а = - , найдем, что 1 /t»" стремится к пределу , а V - к пределу

Интегрируя это уравнение в пределах от ао до а и обозначая через значение q при а = oq и через «о начальную скорость, получим

остается конечным, когда а стремится к - 7t/2. Действительно, так как v стремится к конечному пределу X, то подынтегральное выражение остается конечным и поэтому конечным будет х, который стремится к значению

«о

vi da.

С другой стороны, t становится бесконечным при а = - ~. Действительно,

g J со

g J COS a

и подынтегральное выражение обращается в бесконечность при а = -

и притом таким образом, что - [а ) стремится к определенному пре-

COS \ л J

делу X. Следовательно, этот интеграл ведет себя вблизи а = - , как

т. е. обращается в бесконечность. По той же причине выражение

У =-- / tJ3 tg а rfa

неограниченно возрастает, когда а стремится к - %j2. Таким образом, высказанные выше предложения установлены.

Найденной предел X для скорости, так же как и в случае прямолинейного нисходящего движения, является корнем уравнения

9(Х) = 1.

Примечание. Если в каком-нибудь определенном частном случае желательно выполнить квадратуры или по крайней мере приближенно вычислить значения v, х, у, t вблизи а = -, то проще всего положить

/ а , л \ rfa da 2и

« = tg(-f), = -. COSa= ,.

Переменная н, вначале положительная, равна 1 при а = 0 и стремится к нулю, когда а стремится к - it/2.

Интеграл, определяющий х [формула (5) ],