является движением твердого тела вокруг неподвижной точки. Следовательно, если обозначить через Р, Q, R составляющие по главным осям OXYZ мгновенной угловой скорости Q тела относительно осей Охуг, то согласно общим формулам (п. 382) мы имеем

sin в = 1, Р = Y sin !f, Q = Y cos !p, R = !f,

27- = A(P + 02) + C/?2 = 2 } Ql

Вычислим также 7"*. Обозначив через а величину главного момента я относительно точки О количеств относительного движения по отношению к осям Охуг, получим:

Т* ~ ша COS (О, Я.

Проведем прямую О/ пересечения плоскости XOY с плоскостью хОу. Тогда

хО/=\, /6>=<f.

Вектор а имеет по осям OXYZ составляющие АР, AQ, CR. На основании значений Р, Q я R, полученных выше, его проекция 4 (Р cos ср - Q sin ср) на ось 01 равна нулю, а его проекция j4 (Р sin tp--Q cos ср) на ось OZ равна 44". Следовательно, вектор я есть сумма двух векторов, из которых один равен 4 и лежит на оси Ог, а другой равен CR или Сер и лежит иа оси 0Z. Обозначив через а постоянный угол шОх, найдем проекцию вектора а на ось Оси;

а COS (О, а = AY Sin я -- Сер COS я sin ii.

Поэтому 7"* равно произведению этой величины на со.

Следовательно, для выражения величины 7" -- Т\ которую мы для краткости обозначим через в, имеем:

в=Тг + Г" = (AY + Сср2) + со (4; sin я + Сер COS а sin 4).

С другой стороны, обозначим через а, Ь, с косинусы постоянных углов, которые образует направленная вниз вертикаль 0V с осями Охуг, и заметим, что координата С центра тяжести G равна нулю, так как эта точка находится на оси вращения 0Z, которая лежит в плоскости хОу. Тогда проекция отрезка 0G на вертикаль Отбудет

00 cos GOVai + бт; = / (а sin 4 - 6 cos 4),

так как в плоскости хОу ось OGZ образует с осью Ох угол 4 - ,

а длина 00 обозначена через / и, следовательно, координаты i я у\ равны

/sin 4 и -/cos 4. Если заметить, что ни в, ни 0G cos GOV не содержат ср, то на основании равенства (Ь) получаем два уравнения движения:

= + а,

Можно получить два первых интеграла этих уравнений. Прежде всего непосредственно имеем = const, т. е.

ср + U) cos я Sin 4 = k- (2)

Далее в уравнениях (1) можно выполнить преобразования, приводящие к обобщенному интегралу энергии Пенлеве (п. 418). Для этого у.чиожим

первое уравнение на if, второе на ф и сложим. Таким путем получится соотношение, которое можно написать в виде

d / , дв . ,, дв\ / „ Эв , ,„ , , дв . ,, дв\

жК W + W)~V W W =

= Mgl (a cos Ф + 6 sin Ф) V. (3) Так как в не содержит то последняя группа членов в левой части равна . С другой стороны, выделяя в в часть Од второго порядка относительно tp и ф и часть первого порядка, имеем

в = вз+в, ,-Ё, + б- = 2в2 + в,

и уравнение (3) напишется в виде

(2в, + (вз + в,) = Mgl {а cos ф + 6 Sin ф) ф.

откуда, интегрируя, получим

8.2 = Mgl (а sin ф - 6 cos ф) -- const,

т. е.

АУ + Сер2 = 2Mgl (а sin ф - 6 cos ф) + Л. (4)

Этот первый интеграл может быть, очевидно, получен независимо от метода Жильбера. Это интеграл энергии в применении к относительному движению по отношению к осям Охуг.

Мы приложим найденные формулы к двум простым частным случаям.

460. Гироскопический компас Фуко. Допустим, что тело закреплено в своем центре тяжести. Тогда 00 = / = О и оба интеграла примут вид

tf -f м cos я sin ф = fe, а ф С<р = Л.

Эти уравнения интегрируются в эллиптических квадратурах. Так как угловая скорость Земли очень мала, то можно пренебречь величиной Л Тогда, подставляя во второе уравнение значение <р, найденное из первого уравнения, и пренебрегая членом с м, получим

Лф -2Cfe Oleosa sin ф=/, (5)

где /- новая постоянная. Мы можем всегда предполагать, что положительное направление на оси 0Z тела выбрано так, что начальное значение или !fQ вращения тела вокруг 0Z положительно. Тогда уравнение (5) непосредственно приведется к уравнению движения математического маятника. Действительно, обозначив через и угол xOZ, найдем ф = и -(- -g. и уравнение (5) примет вид

а - = -- cos а COS " I ]J .

совпадающий с уравнением движения математического маятника, в котором U -угол отклонения от вертикали.

Следовательно, ось 0Z гироскопа совершает вокруг оси Ох колебательное движение. В действительности же вследствие сопротивления воздуха и трения ось 0Z остановится по истечении некоторого промежутка времени на оси Ох, т. е. по направлению, параллельному проекции земной оси на неподвижную плоскость хОу.

Вследствие этого свойства прибору дано название гироскопического компаса. Если плоскость хОу, в которой должна оставаться ось гироскопа является горизонтальной плоскостью места наблюдения, то положение относительного равновесия оси 0Z совпадает с направлением меридиана. Прибор может тогда служить компасом. Если плоскость хОу совпадает с плоскостью меридиана, то ось гироскопа займет положение Ом, которое будет тогда совпадать с осью Ох, и прибор будет служить указателем широты.

Резюмируя изложенное, можно сказать, что ось такого гироскопического прибора стремится составить возможно меньший угол с осью Земли.

461. Барогироскоп Жильбера. В гироскопическом компасе Фуко, который мы только что рассмотрели, предполагается, что центр тяжести тела вращения находится в точке подвеса О, и ось 0Z тела должна оставаться

Рис. 268.

в плоскости, связанной с Землей и проходящей через точку О. Условие, чтобы центр тяжести находился в точке О, очень трудно осуществить практически. Поэтому Жильбер исследовал влияние вращения Земли на движение тяжелого тела вращения, закрепленного в какой-нибудь точке О своей оси 0Z, когда эта ось 0Z движется в вертикальной плоскости, связанной с Землей, причем центр тяжести G не находится в точке О. Жильбер практически осуществил только что указанные условия на следующем приборе, названном барогироскопом.

Представим себе бронзовый тор D (рис. 268), стальная ось а которого свободно вращается в двух конических углублениях, вь.т ученных в стальных винтах V и v, проходящих через стальную рамку СС. Эта рамка опирается двумя ножами j4 и 4 на цилиндрические подушки из закаленной стали. Система строго симметрична относительно плоскости, проходящей через ось тора и лезвия ножей, и ее подвижность вокруг последних такова, что достаточно легкого дуновения, чтобы вызвать колебания.

После того, как с помощью регулировочных винтов V, V, V" ось подвеса АА будет установлена горизонтально, тор будет представлять собой