Каков бы ни был закон силы, величины X, Y, Z могут быть рассматриваемы во время движения как функции времени t. Умножим обе части этих уравнений на dt и проинтегрируем от ДО Получим:

I dx\ I dx

dt)o

dt и

dt /о

]xdt,

«

JYdt,

fzdt.

dtJo

являются значениями m

dx dt

менты ti и 0-

Те же равенства можно написать в виде

в мо-

Вектор в правой части равенства (2). составляющие которого суть интегралы, стоящие в правых частях равенств (2), называется импульсом силы Г(Х, Y, Z) за промежуток времени t, - о- имеем следующую теорему:

Геометрическое изменение количества движения точки за промежуток времени t, - рпо импульсу силы, действующей на точку.

Допустим, что промежуток t, - очень мал. Если сила X, Y, Z в этом промежутке не будет очень больщая, то правые части уравнений (2) будут очень малыми величинами, и поэтому скорость точки за промежуток времени t, - t изменится очень мало. Это и имеет место при движении точки под действием обыкновенных сил, таких, например, как силы тяжести, силы ньютоновского притяжения к неподвижному центру и т. д. Но если сила X, Y, Z имеет в течение очень короткого промежутка времени t, - очень большую величину,

порядка ---т-, то интегралы в правых частях уравнений (2) имеют

f 1 - о

конечные значения, импульс остается конечным, и поэтому скорость точки претерпевает конечное изменение. Однако точка в течение этого же промежутка времени t, - перемещается очень мало, так как

ее скорость во всем промежутке остается конечной. Точнее говоря, если обозначить максимальное значение скорости в рассматриваемом промежутке времени через V, то перемещение точки будет меньше, чем V(,t, - to).

Итак, очень большая сила, действующая на точку в течение очень короткого промежутка времени, производит конечное изменение скорости без заметного перемещения точки.

В качестве первого приближения рассмотрим предельный (идеальный) случай, когда промежуток t,-бесконечно мал, а сила в этом

промежутке бесконечно велика, порядка . Тогда точка полу-

чит внезапно конечное изменение скорости, не изменяя своего положения. В таких случаях мы будем говорить, что на точку т действует удар *) и будем представлять этот удар в виде вектора Р с началом в точке Ж и с проекциями, равными трем интегралам: «. t, t,

a=fXdt. b = fYdt, c = fZdt.

i «0 «0

Тогда уравнения (2), определяющие изменение скорости, напишутся так:

I dM\ fdM\ „

Эти уравнения позволяют измерять удар по производимому им эффекту. Пусть /wjiq-количество движения точки т (рис. 270) до удара, а OTjii - ее количество движения после удара. Построим геометрическую разность век* торов m,vim. Уравнение(3) выражает, что эта разность равна удару, приложенному к точке. Следовательно, имеем:

тх - /и{1о = Р.

Рис. 270.

Это соотношение определяет удар как функцию количеств движения в моменты 0 и i- Наоборот, если известны количество движения /и{1о ДО удара и удар Р, то количество движения отр,, после удара есть геометрическая С)мма векторов т и Р.

*) Здесь и далее под ударом подразумевается то, что обычно называется ударным импульсом. (Прим. перев.)

2°. Действие нескольких ударов. Пусть F", F", ...-несколько сил, действующих на точку и имеющих проекции {x, y, z),... Уравнение движения будет

т = /="+ +/=•"+,...

Умножим обе части на dt и проинтегрируем в пределах от t до Получим

< *. *.

-() --(1г)о = ./ fit-Vfrdt+f F"dt+... (4)

*0 *0 *0

Предположим, что промежуток времени t, - бесконечно мал, а силы F, F", F", ... в этом промежутке бесконечно большие,

порядка • , . Тогда, как мы только что видели, интегралы в правой 1 - о

части имеют конечные значения и определяют удары Р, Р", Р", ...

Уравнение (4) показывает, что изменение количества движения точки М будет такое же, как и при действии только одного удара Р, определяемого соотношением Р = РР"-\-Р"-\- ...

Этот удар Р, который может заменить рассматриваемые удары, равен, следовательно, их геометрической сумме. Таким образом, несколько ударов, приложенных к точке, складываются как силы.

Если а, Ъ, с суть проекции вектора Р, а, Ь, с - проекции вектора Р, а", Ь", с" - проекции вектора Р" и т. д., то

аа а" + а"+ ьЬ + Ы + Ь"+ ....

сс-\-с" + с"+ ...

507. Эффект действия обыкновенных сил, таких, как сила тяжести, за время удара равен нулю. В самом деле, допустим, что так же, как и в предыдущем случае, точка находится под действием нескольких сил F, F", F"\ но предположим, что сила F остается конечной в течение бесконечно малого промежутка времени! - t.b то время

как другие силы становятся бесконечно большими порядка , , .

h - «о

Тогда Р равно нулю, в то время как Р", Р", .. . отличны от нуля, и в уравнении (4) первый член правой части исчезнет, так как эффект" действия обыкновенной силы F за промежзток времени t, - t ничтожно мал.

Так, если мяч ударяется о стену, то действие силы тяжести мяча во время удара ничтожно мало по сравнению с эффектом самого удара.

508. Выводы. Теоремы для одной материальной точки. Для

сокращения письма мы обозначим через Д т величину

/ dx\ ( dx\ dx

~\"-~dr} изменение величины за промежуток