Отсюда на основании принципов подобия (п. 76) видно, что если в первой системе существует какое-нибудь не зависящее от выбора единиц соотношение между длинами, площадями, объемами, массами, скоростями, ускорениями и силами, то такое же соотношение будет существовать между соответственными элементами второй системы.

Зависимость, выражаемая уравнением (3), была уже дана Ньютоном в его Philosophiae naturalis principia mathematica (книга II, раздел I, предложение XXXII).

Эта теория и ее приложение к исследованию машин по их уменьшенным моделям составляют содержание работы Бертрана Note sur la similitude en Mecanique (Journal de IEcole Poiytechnique, XXXII", Cahier).

По этому же вопросу можно указать также на главу, посвященную размерностям и подобию в сочинении Пионшона (Pionchon, Introduction а Ietude des systems de mesures usitees en Physique).

Исследование машины no уменьшенной модели. Теорема Ньютона приводит часто к очень интересным практическим заключениям. В частности, ее применяют, когда хотят исследовать какую-нибудь механическую конструкцию на малой модели.

Пример I. Допустим, например, „что мы имеем уменьшенную модель локомотива и обозначим через X отношение геометрического подобия этой модели к локомотиву, который надлежит построить. Тогда отношение площадей будет Х, а отношение объемов будет X. Если предположить, что как в машине, так и в модели материалы одинаковы, то отношение jx одной массы к другой будет равно Х и такое же будет отношение сил, вызванных тяжестью. Следовательно, ср = Х. Отсюда заключаем, что отношение т одного

времени к другому равно или з потому отношение

скоростей, равное будет тоже равно l/X. Таким образом, скорости модели и машины должны относиться между собой как корни квадратные из их размеров.

Такое условие необходимо для осуществления механического подобия между моделью и машиной. Необходимо, однако, заметить, что приложенными силами будут не только силы тяжести. Силы давления пара должны также относиться как Х: 1, и так как они пропорциональны площадям, т. е. пропорциональны величинам Х и силам, приходящимся на единицу площади, то необходимо, чтобы эти силы находились в отношении X. Таким образом, подобие требует, чтобы в модели сила давления пара на единицу площади находилась в отношении геометрического подобия к силе давления пара на единицу площади в действительной машине.

Сопротивление воздуха пропорционально площадям и приблизительно пропорционально квадратам скоростей, т. е. Х (lX) или Х, и оно удовлетворяет условию <f = Х.

Силы Трения скольжения, пропорциональные давлениям, находятся в отношении этих давлений, т. е. в отношении Х.

Наконец, силы сопротивления качению, которые в разбираемом случае могут рассматриваться как приблизительно пропорциональные давлениям и обратно пропорциональные диаметрам колес, нахо-Х8

дятся в отношении у или Х-, если материал колес одинаков у модели

и у машины. В модели сопротивление качению слишком велико.

Для осушествления подобия необходимо, следовательно, чтобы колеса модели были сделаны из материала, сопротивление которого качению при всех прочих равных обстоятельствах было бы меньше сопротивления качению материала колес машины, причем это уменьшение должно равняться отношению геометрического подобия X.

Таким образом, мы видим, что для получения модели, в четыре раза меньшей рассматриваемого локомотива, удовлетворяющей всем условиям подобия, надо придать этой модели скорость, вдвое меньшую, уменьшить вчетверо давление пара и сделать колеса из материала, для которого сопротивление качению было бы в четыре раза меньше.

Так как это последнее условие, если даже оно выполнимо, нельзя осуществить без нарушения первоначального условия, заключающегося в том, что модель и машина сделаны из одинаковых материалов, то становится ясным, что употребление уменьшенных моделей встречается с затруднениями, которые невозможно избежать вполне. Предыдущего достаточно, чтобы понять, с какими предосторожностями нужно обставлять опыты в уменьшенных масштабах, чтобы из них можно было получить строгие практические результаты. (Leaute, Cours de IEcole Polytechnique, 1901 - 1902.)

Пример II. Допустим в виде второго примера, что мы желаем построить модель солнечной системы, подобную настоящей, сохраняя для постоянной всемирного тяготения / такое же значение.

Взаимное притяжение двух частиц равно -р2~ ли бы массы стали

в j, раз меньше, а расстояние в X раз меньше, то притяжение стало

бы меньше в ср раз. Тогда мы имели бы ср==, так как т и т

надо было бы умножить на {х, а г - на X. Но так как, вообще,

А , , Х8

ср=-, то мы получили бы Х=:-.

Если же предположить, что плотности остались прежними, т. е. что Солнце и планеты, будучи уменьшены в X раз, сохранили свою плотность, то мы нашли бы, что [а = Хз. Отсюда t2=l, т. е. время не изменилось бы ни для Солнца, ни для планет.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Адамар 181, 292, 323, 375 Альфен 160, 174, 186, 201, 202 Ампер 77 Андрад 249 Аншютц 344

Аппель 25, 28, 41, 124, 126, 186, 207, 210, 222, 232, 274, 327, 332, 341, 344, 360, 361, 363, 383, 388. 430

Астор 206

Атвуд 91

Бёген 120, 344, 461 Бёклен 91, 127 Бельтрами 394 Верже 249 Бернулли Д. 35, 43 Бернулли И. 43 Бертран 420, 480 Бет 304 Бине 23 Болл 52 Больцман 424 Бонне 78 Брассин 25 Брикар 227 Брилль 160 Врио 158 Брун 407 Брунс 53 Буке 158 Буль 430

Бур 168, 257, 258, 260, 472, 476 Бурле 244, 248 Буссинеск 77, 248

Вассмут 425 Вернь 367, 383, 420 Викер 306 Вольтерра 207, 420 Воронец П. В. 233, 363 Вудворд 261

Гамель 120, 292 Гамильтон 364 Гаусс 222, 225, 342, 420 Гельмгольц 77

Герц 267, 424 Гессе 25 Гесс 165, 171 Гиббс 424 Гири 106, 126 Гохман 420

Гринхилл 128, 130, 150, 171, 174, 186.

204, 205, 206 Грюэ 194 Гупийер де ла 15

Гурса 141, 375, 377, 381, 411, 420, 428 Гюйгенс 15, 43, 88 Гюйу 41, 258, 259

Даламбер 136, 262 Даниэль 126

Дарбу 25, 141, 169, 171, 172, 174, 186, 201, 202, 204, 388, 395, 411, 428, 462 Дарси 35 ДАрсонваль 249 Де Дондер 420, 430 Делл Акуа 430

Делоне 32, 36 Депейру 169, 186, 201 Депре 25, 41, 78

Де Сен-Жермен 41, 78, 100, 127,

186, 200, 202, 241, 260, 335, 363 Де Спарр 120, 165, 254, 257 Джебиа 201, 202 Джоуль 77 Дорна 80 Достор 27 Драш 207

Дубошин Г. Н. 420 Дюэм 77

Жерва 215

Жильбер 238, 243, 249, 257, 260, 312, 359

Жуковский Н. Е. 25 Журден 388

Зоммерфельд 139, 186, 194 Ирн 77