центр тяжести должен двигаться прямолинейно и равномерно, то главный вектор всех сил, приложенных к телу, должен равняться нулю. Далее, так как относительное движение тела вокруг центра тяжести должно быть вращением с постоянной угловой скоростью вокруг оси постоянного направления, то главный момент этих сил должен равняться нулю. Следовательно, силы должны находиться в равновесии. И наоборот, если силы, действующие на цилиндр, находятся в равновесии и цилиндр приведен в движение, то его центр тяжести будет равномерно двигаться по прямой.

Проектируя еще раз все силы на горизонталь и вертикаль, получим

N = Р, Р=Ф, откуда Ф < Pf,

так как отсутствует скольжение.

Возьмем после этого моменты относительно точки геометрического касания т, замечая, что сумма моментов должна равняться нулю и что расстояние от реакции N до точки т при качении равно 8. Получим:

Таким образом, для того чтобы привести цилиндр в движение, заставив его

катиться, нужно приложить силу Ф, превосходящую , но меньшую,

чем fP. Затем, после того как его центр тяжести приобретет нужную скорость, надо для того, чтобы поддерживать эту скорость качения, внезапно

придать силе Ф значение -.

Пример П. Применение катков для перемещения грузов по горизонтальной плоскости. Допустим, что тяжелое тело Р, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, поддерживается двумя катками О, и О3 одинаковых диаметров и с параллельными осями. Катки положены на горизонтальную плоскость (рис. 220). Найдем, какую горизонтальную силу Ф

Рис. 220.

нужно приложить к телу Р перпендикулярно к осям катков для того, чтобы привести его в равномерное движение и чтобы катки при этом одновременно катились как по телу, так и по плоскости. Силы, приложенные к телу, следующие: горизонтальная сила Ф, вес этого тела Р, касательные реакции и Fi катков и, наконец, нормальные реакции N, и катков. Силы, приложенные к катку Oi, следующие: вес р этого катка, силы F, и N,, равные и прямо противоположные силам F, и N,, и, наконец, касательная и нормальная реакции и М, плоскости.

На основании законов трения качения реакция М, плоскости приложена на расстоянии В от точки геометрического касания А, в направлении качения по плоскости, а реакция Л детали на каток приложена на расстоянии о

Если тело непосредственно скользит по плоскости, то сила, необходимая для сообщения ему равномерного движения, будет иметь значение fP, превосходящее предыдущее.

379. О стремлгнии материальных систем избегать трения. Во многих случаях движение системы с трением происходит таким образом, что работа сил трения все более и более уменьшается по абсолютной величине. Другими словами, система стремится избежать воздействия на нее сил трения. Так, скользящие колесо или шар заканчивают движение качением, круглый волчок, запущенный на горизонтальной плоскости, выпрямляется таким образом, чтобы сила трения была приложена к все меньшей и меньшей параллели его конической оси и т. д.

Это свойство может быть объяснено такими общими рассуждениями *).

Вообразим материальную систему, обладающую следую;цими свойствами, которые встречаются в большинстве обычных систем:

*) Аппель, Journal fur Mathematik, т. 133, тетрадь 2; Bulletin de la Societe mathematique, т. XXXV, 1907, стр. 131.

от точки геометрического касания В, в направлении качения катка по телу. То же самое происходит и со вторым катком, причем 8 и 8 будут одинаковые, а реакции будут отмечаться .значком 2. Из соображений симметрии мы будем рассматривать все силы, как лежащие в одной и той же плоскости, нормальной к осям катков.

Так как тело должно совершать равномерное поступательное движение, то приложенные к нему силы должны находиться в равновесии. Проектируя эти силы на вертикаль и горизонталь, получим два уравнения:

Ф =-f Fa, PNi+No. (2)

К этим уравнениям нужно добавить также уравнение, выражающее, что сумма моментов сил, приложенных к телу, относительно какой-нибудь точки в плоскости этих сил равна нулю; но это соотношение, которое позволит вычислить Ni и No, не потребуется для дальнейшего.

Каток Ol должен катиться равномерно, и поэтому приложенные к нему силы должны находиться в равновесии. Следовательно, проектируя на вертикаль и горизонталь и беря моменты относительно точки Ai, будем последовательно иметь

p - Mi + N[==0, Gi-7i = 0,

2RFi~ Mib - N[b = 0.

Так как N[ = Ny » F[ = Fj, to, исключая Mi находим:

pb + Ni{b + b) »~ 2R

Точно так же

Рг--2R-•

Окончательно на основании уравнений (2) имеем:

2рЬ + Р(Ь + Ь) 2R

Можно пренебречь величиной р по сравнению с Я и привести эту формулу к виду

Р{Ь-Ь)

1° рассматриваемая система подчинена вначале некоторым связям без треиия, не зависящим от времени;

2° она подвержена действию внутренних сил с потенциалом П, который положителен или равен нулю во всех возможных положениях системы, причем в нуль обращается в особом положении, являющемся положением устойчивого равновесия системы под действием одних только внутренних сил;

3 система содержит твердые тела или точки, скользящие с трением друг по другу или по неподвижным телам;

4° она находится, наконец, под действием других внешних сил, имеющих силовую функцию и, которая остается меньше некоторого определенного предела L при всех возможных положениях системы, при которых осуществляется по крайней мере одно касрние, дающее трение.

Для определенной таким образом системы уравнение кинетической энергии будет:

d(T+\\-U) = -hN,v,dt - UNiV.idt- ... -fpNpVpdt, (1)

где /" - кинетическая энергия, f,, /2, - коэффициенты трения,

Ni, N2, Np- абсолютные .значения нормальных реакций, щ, v-y, ..., Vp - значения относительных скоростей скольжения материальных точек соприкасания различных попарно соединенных тел. Если мы положим для сокращения

= AN,v,+foN2V2+ ... +fpNpVp, (2)

то мы увидим, что эта величина Ф, являющаяся суммой положительных или равных нулю членов, существенно положительна и может обратиться в нуль только тогда, когда все ее члены одновременно равны нулю. Уравнение кинетической энергии

d{T-\-n - U) = - dt (3)

показывает, что величина Ф имеет нижним пределом нуль.

В самом деле, абсурдно предполагать, что величина Ф в течение всего времени движения остается больше некоторого определенного предела X, большего нуля, ибо если

Ф > X > О,

то из уравнения кинетической энергии получится:

откуда, интегрируя, найдем:

Т + и-и <-\t-\-C, (4)

где С-некоторая постоянная. Так как U имеет предел U < L, то отсюда выводим

T + U<-\t-[-C-\-L. (5)

Когда t неограниченно возрастает, правая часть принимает все более возрастающие по абсолютной величине отрицательные значения. Следовательно, энергия 7"-f-Il должна становиться все меньше и меньше и ее величина, состоящая из двух слагаемых, положительных в.начальный момент, должна обратиться в нуль по истечении конечного промежутка времени. Начиная с этого момента, потенциал П и кинетическая энергия Т будут равны каждая порознь нулю. Следовательно, при таком положении, при котором потенциал П равен нулю, все скорости по истечении конечного промежутка времени обратятся в нули.