dx dv

вначале йеподвижным, то величины и ~ равны вначале нулю

и С = 0. Если затем наблюдатель пожелает двигаться, то вследствие равенства постоянной С нулю ни одна часть его тела не сможет повернуться в каком-нибудь направлении без того, чтобы какая-нибудь другая часть не повернулась в обратном направлении (Делоне). Но следует отметить, что, несмотря на это условие, наблюдатель, вначале неподвижный на плоскости, может при помощи последовательных движений различных частей своего тела оказаться в конечном положении, получаемом из начального, поворотом всего тела вокруг вертикали, проходящей через его центр тяжести. Возможность таких движений вытекает нз примеров, которые мы рассмотрим ниже, а именно из примеров 3° и 4° пункта 333.

330. Геометрическая интерпретация обеих теорем. Обе доказанные нами теоремы допускают очень простое геометрическое представление.

Проведем через каждую точку М системы вектор, представляющий количество движения mV этой точки. Все эти векторы tnV имеют -»

главный вектор Ор, равносильный вектору

и главный момент Оо относительно начала О, имеющий проекции (рис. 185):

dx dt

dy dt

dz dt

dx\ dt)-

Рис. 185.

Вектор Оо равносилен вектору

->

Рассмотрим теперь внешние силы. Их главный вектор OR имеет

проекции

=SSe. 5=22 Ке. Z=22Ze. (R)

а их главный момент OS относительно точки О имеет проекции

22(jZe-zK,). {ZX,-XZ,). 22(1е-.Уе)- (S)

Тогда по теореме количеств движения имеем

т. -тг- - OR, dt

Постоянная v есть проекция вектора Оа на ось z, т. е. на нормаль к плоскости Р. Таким образом, постоянная площадей на какой-нибудь плоскости, проходящую через точку О, равна проекции Оо на нормаль к этой плоскости. Отсюда следует, что из всех плоскостей,

проходящих через О, наибольщим значением постоянной площадей

будет обладать та, которая перпендикулярна к Оа. Ее называют плоскостью максимума площадей. Для всех плоскостей, проходящих через Об, постоянная площадей равна нулю.

332. Сумма моментов количеств движения точек твердого тела относительно оси, вокруг которой тело вращается. Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг оси Oz с угловой скоростью ш. Пусть г и 9 - полярные координаты проекции точки т (х, у, z) тела на плоскость х у. Имеем:

{ dy dx\ , db „

Обозначая через Mk момент инерции тела относительно оси вращения, получим для суммы моментов количеств движения всех точек относительно этой оси значение

т. е. произведение момента инерции на угловую скорость.

*) Автор употребляет не применяемый у нас термин «кинетическая равнодействующая». (Прим. перев.)

И ПО теореме моментов количеств движения имеем

-2(/иОМХ- = 05, или - = 0S.

Эти уравнения выражают, что скорости геометрических точек р и а в каждый момент времена соответственно равны и параллельны векторам OR и OS.

Векторы Ор и Оа называются соответственно главным вектором количеств движения*) и кинетическим моментом системы.

331. Частный случай, когда главный момент внешних сил относительно точки О равен нулю. Плоскость максимума площадей. В этом случае вектор OS равен нулю. Точка о остается неподвижной и величины X, р,, v постоянны, каковы бы ни были направления осей в точке О. Вследствие этого закон площадей применим к проекции движения на любую плоскость Р, проходящую через О. Чтобы найти значение постоянной площадей на этой плоскости, примем ее за плоскость ху. Имеем:

333. Примеры. 1°. Концы материальной однородной прямой АВ (рнс. 186) массы т и длины 2а могут скользить без трения по горизонтальной окружности радиуса R. Насекомое той же массы т помещено в середине прямой, предполагаемой неподвижной. В момент = О насекомое начинает двигаться вдоль прямой АВ от С к В, пробегая в равные промежутки времени равные отрезки этой прямой. Найти движение системы и вычислить угол, на который повернется прямая от своего исходного положения, когда насекомое достигнет конца В.

[Обозначить через 6 угол, который образует с неподвижной осью радиус-вектор, соединяющий середину С прямой с центром О, через г - расстояние СМ от насекомого М до точки С, причем г = vt {v - постоянная)] (Лиценциатская, июль 1891).

Внешние силы, приложенные к системе, образованной прямой и насекомым, суть: 1° вес; 2° нормальные реакции окружности на концы Aw В прямой. Моменты всех этих сил относительно вертикали Ог равны нулю, так как силы веса параллельны оси Ог, а нормальные реакции лежат в плоскостях, нормальных к окружности в точках Л и В и, следовательно, содержащих Ог. Сумма моментов количеств движения относительно Ог является поэтому постоянной и поскольку она была вначале равна нулю, так как прямая и насекомое были неподвижны, то она останется равной нулю постоянно. Вычислим эту сумму, которая состоит:

а) из суммы моментов количеств движения всех точек прямой относительно Ог; так как эта прямая является твердым телом, вращающимся

вокруг Ог с угловой скоростью , то эта сумма равна mk , где

mk-момент инерции прямой относительно Ог;

б) из момента количества движения насекомого М; так как полярные

координаты насекомого М суть р и а = хОМ, то этот момент равен отрз . Имеем, следовательно,

.. + р. = 0.

Рис. 186.

Но из прямоугольного треугольника СОМ непосредственно находим:

YR-a.i + vHh a=e-farctg

Подставляя в предыдущее уравнение, после приведения получим:

db vYW e-e i/"

dt ~ fe3 4.02 a2 I 1,22 "-"0 \

t - ai

- afctg---

/?2 д2 *уй2-;<2 д2