Допустим теперь, что тело положено на неподвижную горизонтальную плоскость П, и возьмем те же неподвижные оси С/цС, что и в случае, когда ,5 является поверхностью вращения (п. 407). Обозначим через в, ср, ф углы Эйлера между триэдром Охуг и триэдром Оххуг, параллельным йеподвижным осям. Так как тело касается горизонтальной плоскости, то вертикаль Gzi перпендикулярна к касательной плоскости и координата С центра тяжести является известной функцией косинусов у. y. y". имеющих значения sin в sin ср, sin 6 cos tp, COS 8. Следовательно, имеем:

с = /(е. ?).

Более того, координаты х, у, г точки касания относительно осей Gxyz суть также известные функции 6 и ср.

Следовательно, положение тела зависит от пяти параметров 5, т), 6, ср, ф.

Единственными внещними силами являются вес и нормальная реакция R, направленная параллельно Ог. Имеем сначала (движение центра тяжести)

После этого нужно использовать уравнения Эйлера для относительного движения вокруг точки G. Правые части L, М, N этих уравнений суть моменты реакции R относительно осей Gx, Gy, Ог. Проекции реакции R на эти оси равны R-(, R-(, Rf. Приложена реакция R в точке касания, имеющей координаты X, у, г. Следовательно, L, М, N имеют значения R (y-f-y), ?(гY - x-f), R(,xY - y). где все три скобки, на которые умножается R, являются известными функциями 6 и <р. Таким образом, получаются шесть уравнений для определения S, т], G, ср, ф, ? в функции времени. Горизонтальная проекция точки G совершает прямолинейное и равномерное движение.

Эти уравнения имеют два первых интеграла, получающихся из общих теорем: 1° интеграл энергии

Ми + Ар + Bf +-Сг2 = - 2Mg<: + Л;

2° в относительном движении вокруг центра тяжести G сумма моментов количеств движения относительно Gz постоянна;

Ар sin 6 sin <f -j- Bg sin e cos 9 -)- Cr cos b = k.

4. Как следует изменить вид формул предыдущего упражнения в случае, когда тяжелое тело ограничено частью развертывающейся поверхности и касается плоскости вдоль образующей этой поверхности?

5. Найти движение тяжелого однородного прямого конуса вращения, скользящего без трения по горизонтальной плоскости.

Конус будет касаться плоскости вдоль образующей. Так как центр тяжести находится на оси конуса, то эту ось можно принять за ось Gz. Геометрия показывает, что Сив постоянны. Кроме того, А = В. Все реакции плоскости пересекают ось Gz конуса, поэтому г = г р. Тогда теоремы момен-. тов И кинетической энергии показывают, что <р и ф постоянны, и, следовательно, углы <р и ф изменяются пропорционально времени.

6. Найти движение конуса предыдущего упражнения, предполагая, что к основанию конуса прикреплены неподвижно две диаметриально противоположные материальные точки.

Теперь .А и В не равны. Можно получить четыре первых интеграла, прилагая теорему движения центра тяжести G, теорему кинетической энергии и теорему моментов относительно оси Gz.

7. Тяжелая, однородная, полая сфера скользит без трения по горизонтальной плоскости. По внутренней поверхности сферы скользит без трения тяжелая материальная точка М. Найти движение системы.

Ответ. Движение системы зависит от семи параметров: двух -для фиксирования положения центра сферы, трех - для фиксирования положения сферы вокруг своего центра и двух - для фиксирования положения движущейся точки на сфере.

Заметим прежде всего, что непосредственно известно движение сферы вокруг своего центра С, являющегося ее центром тяжести. Действительно, силы, действующие на сферу, рассматриваемую как изолированная система, суть вес, реакция плоскости и реакция движущейся точки. Все эти силы проходят через центр С. По обобщенной теореме о моментах количеств движения полный момент количеств движения относительно центра С будет, следовательно, постоянным и движение сферы вокруг своего центра будет равномерным вращением вокруг оси, проходящей через центр С и имеющей постоянное направление как относительно сферы, так и в пространстве.

После этого для окончательного определения движения достаточно будет четырех интегралов. Два интеграла вытекают из теоремы движения центра тяжести, показывающей, что горизонтальная проекция центра тяжести совершает прямолинейное и равно.мерное движение.

Отнесем теперь систему к трем осям постоянного направления с началом в точке g, которая является проекцией центра тяжести G систе.мы на горизонтальную плоскость, проходящую через центр сферы. Пусть эти оси будут gx,, gy,, gzi, причем ось gz, вертикальна. Для изучения движения относительно этих новых осей не нужно менять внешних сил, приложенных к системе, так как новый триэдр совершает по отношению к старому триэдру поступательное прямолинейное и равномерное движение.

Пусть т - масса сферы, а т - масса точки. Обозначив через Р радиус сферы, имеем:

CG = l = -rR,.MG = i,. = --R. т ~\- т т т

Положение обеих точек М и G определяется углом 8 между горизонтальной проекцией CG и осью gx, и углом ср, образованным той же проекцией CG с осью gz,. Движение точки С будет таким же, как если бы эта точка была материальной точкой с массой /п, к которой были бы приложены все действующие на сферу внешние силы (вес, нормальная реакция горизонтальной плоскости и реакция точки М на сферу, направленная по МС). Если применить к системе теорему моментов количеств движения относительно оси gz, и теорему кинетической энергии, то получатся два первых интеграла, определяющих 8 и <р в функции t:

з1п2<рв = const,

(mX2 4- mfi") sin2 <f -f [(ml + m\f) cos2 4. R дщг cp] =

= - 2mgR cos <p -f const.

Если из этих двух уравнений исключить 6, то получится выражение i через ср при помощи квадратуры. (Р а i п 1 е v ё, Lefons sur Tintegration des equations de la Mecanique.)

8. Найти движение однородного тяжелого шара, скользящего без трения по поверхности, являющейся эллипсоидом вращения вокруг вертикальной оси Oz.

Ответ. Внешними силами, приложенными к шару, являются вес и реакция эллипсоида (нормальная к поверхности). Так как силы проходят через центр С шара, то движение шара вокруг этой точки является равномерным вращением вокруг оси, неподвижной в пространстве и в шаре.

Что касается движения центра тяжести С, то это - движение тяжелой точки по поверхности вращения, параллельной заданному эллипсоиду (п. 276). На основании теоремы кинетической энергии и теоремы моментов относительно оси Oz получим два первых интеграла, опреде.тяющих движение (Пенлеве, там же, стр. 31).

9. Тяжелое однородное твердое тело имеет ось симметрии. Эта ось имеет неподвижную точку О и скользит без трения по горизонтальной неподвижной окружности, центр которой находится на вертикали, проходящей через точку О. Найти движение системы.

Ось симметрии Ог является главной осью инерции для точки О.

Пусть Ох к Оу - две другие главные оси инерции для той же точки О, Ог-х - вертикаль точки О, Ох и ОУх - две неподвижные взаимно-перпендикулярные горизонтальные оси, 01-пересечение плоскостей уОх и у-Ох.

Угол гхОг остается постоянным вследствие наложенных связей. Следовательно, положение тела зависит от двух параметров:

Центр тяжести G тела находится на оси Ог; его координата г постоянна, и поэтому работа силы тяжести равна нулю.

По теореме кинетической энергии и по теореме моментов относительно оси Ozx, которую реакция пересекает в точке О и которая параллельна силе тяжести, получаем два первых интеграла:

Лр2 -)- Bqi -{- Сг- = Л, Ар sin 6о sin tf -- В? sin Bq cos tf -f Cr cos % = K-

Кроме того, имеем

p = Y sin Bq sin tf, q = Y sin Bq cos tp, r = ф cos Bq + tp.

Подставляя эти значения в предыдущие равенства и исключая ф, получим t в функции tf при помощи квадратуры. (Пенлеве, там же, стр. 32.)

10. Вдоль оси тяжелого однородного тела вращения продета неизменно связанная с ним спица постоянной длины АВ, концы которой скользят без трения по двум линейкам L и L, не параллельным между собой. Найти движение этого тела.

Ответ. Положение системы зависит от двух параметров: одного, определяющего положение спицы, и другого, определяющего ориентацию тела вокруг этой прямой.

Теорема о кинетической энергии дает один первый интеграл.

С другой стороны, моменты относительно оси вращения АВ внешних сил, каковыми являются вес и реакции линеек, равны 0. Поэтому если исследовать движение тела вокруг своего центра тяжести О, для которого АВ является главной осью инерции, то одно из уравнений Эйлера покажет, что в этом движении составляющая г по оси АВ мгновенной угловой скорости вращения тела постоянна. Отсюда еще один первый интеграл.

Таким образом, движение зависит от двух параметров и имеются два первых интеграла.

Чтобы произвести вычисления, примем за ось г общий перпендикуляр к обеим прямым L и L, за начало координат примем середину кратчайшего расстояния между ними, за плоскость ху - плоскость, перпендикулярную к Ог, и за оси х и у - биссектрисы углов между проекциями Z, и Z, на эту плоскость.

Обозначим через 6 угол, образуемый с осью Ох проекцией спицы на плоскость ху; через ф обозначим угол между плоскостью, проходящей через спицу и неизменно связанной с телом, и плоскостью, проектирующей эту спицу на плоскость ху. Тогда получатся выражения вида

ГГ а cos 20 + 6 sin 26 + с ,„ ... V аCOS о-f 6Sin 6 +с- <H-ecosa = W + ,x,

где X и [J. - постоянные, а а - постоянный угол между спицей и осью Ог.