где f/ -функция от х, у, г. При этих условиях, если искать возможные положения точки, обращающие функцию U в максимум или минимум, можно найти положения относительного равновесия точки т как в случае, когда она свободна, так и в случае, когда она движется по кривой или по поверхности, неизменно связанной с осями Oxyz. Если в некотором положении функция и имеет максимум, то это будет положением устойчивого равновесия. Действительно, если, отклонив точку от ее положения равновесия и сообщив ей малую относительную .скорость, привести ее в движение, то нужно будет присоединить к другим силам кориолисову силу инерции. Но так как работа этой силы равна нулю, то будет иметь место интеграл энергии

К нему можно приложить все рассуждения, сделанные при исследовании устойчивости абсолютного равновесия (пп. 208, 245, 267), так как эти рассуждения основаны только на существовании интеграла энергии. Так, в примере п. 415 (относительное равновесие тяжелой точки на плоской кривой, вращающейся вокруг вертикали своей плоскости) существует силовая функция

и = - mgz -\- -i- m(o5p2.

Тогда при помощи этого метода можно убедиться, что для вращающегося

круга положение равновесия, определяемое равенством cos а = -т-, если

0>-/<

только оно существует, является устойчивым.

Те же замечания справедливы и для относительного равновесия системы.

где г обозначает расстояние от точки т стержня до диаметра Ох. Легко найти, что

2 тг- = Mai sin2 6 + Mki cos?- 6.

После подстановки получится уравнение движения. При помощи эллиптической функции можно выразить cos 9 р. функции t.

Если а2 = 2, то движение будет такое же, как движение маятника.

Положения относительного равновесия получатся, если приравнять

нулю (Лиценциатская).

9. Устойчивость относительного равновесия точки. Важно заметить, что если кориолисова сила инерции не входит в искомое уравнение относительного равновесия, то она появляется, как только точка начинает двигаться, и должна быть принята во внимание при исследовании устойчивости.

Но в одном часто встречающемся частном случае вопрос об устойчивости можно исследовать не вводя кориолисову силу в уравнение. Допустим, что приложенная к точке т заданная сила F и переносная сила инерции - mJg обе вместе имеют силовую функцию, так что

X-m{J,)

ГЛАВА XXIII ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

I. Общее уравнение динамики

429. Формулировка принципа. Мы уже сформулировали принцип Даламбера для материальной точки (п. 288). Если рассматривать, с одной стороны, вектор, представляющий собой силы, приложенные к точке массы т, а с другой стороны, приложенный к точке вектор /, равный и противоположный произведению ускорения на массу, то уравнения движения можно интерпретировать следующим образом: в каждый момент времени существует равновесие между действующими силами и вектором /, называемым силой инерции. Проекции этого вектора / на оси координат равны

dx dSy dz

- "г-гпг. -т-~ , -от

dfi dfi dfi

где X, у. Z обозначают координаты точки т.

Пусть теперь дана система и движущихся точек с массами

nil, щ....."я- Можно сказать, что в каждый момент времени

существует равновесие между всеми силами, действующими на эти точки, и силами инерции /j, 1, /„ этих точек.

При помощи этого принципа можно свести составление уравнений какой-нибудь задачи динамики к составлению уравнений некоторой вспомогательной задачи статики.

Первое приложение. Теоремы, проекций количеств движения и моментов количеств движения (кинетических моментов). Мы видели (п. 94), что для того, чтобы произвольная система была в равновесии, необходимо, чтобы суммы проекций всех внешних сил на каждую из трех осей были равны нулю и чтобы суммы моментов тех же сил относительно каждой из этих осей тоже равнялись нулю. Отсюда на основании принципа Даламбера непосредственно вытекает, что при движении системы суммы проекций всех внешних сил и сил инерции на каждую из трех осей равны нулю

И ЧТО суммы моментов сил инерции и внешних сил относительно каждой из этих осей также равны нулю

Полученные таким образом шесть уравнений выражают теоремы проекций количеств движений и моментов количеств движения (пп. 326 и 328).

430. Случай системы со связями. Пусть дана система материальных точек, находящихся под действием заданных сил и подчиненных некоторым заданным связям, которые могут изменяться со временем по заданному закону. Каждая точка системы может быть рассмотрена как свободная, находящаяся под действием заданных сил и реакций связей. Согласно принципу Даламбера в каждый момент времени суиествует равновесие между заданными силами, реакциями связей и силами инерции. Иногда это утверждение формулируют следующим образом:

В каждый момент времени, в силу существующих в данный момент связей, имеется равновесие между заданными силами и силами инерции.

Пример. Движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Вспомним, что для того, чтобы твердое тело, движущееся вокруг неподвижной оси Oz, было в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов сил относительно оси равнялась нулю. На основании этого для того, чтобы написать уравнение движения тела вокруг оси Oz, нужно написать, что заданные силы и силы инерции находятся в равновесии в силу имеющейся связи, т. е. что сумма моментов этих сил относительно оси Oz равна нулю

Это, как легко проверить, представляет собою уравнение, выведенное в п. 359.

431. Общее уравнение динамики для системы со связями без трения. Пусть дана система п точек с массами т,, .....

и координатами х,, у,, г,, Xj, У2, Z2 , подчиненная заданным связям, осуществляющимся без трения. Эти связи могут, однако, зависеть от времени. На точки действуют заданные силы, и мы обозначим через (X„Y„Z„) проекции равнодействующей заданных сил, приложенных в точке т„.

По принципу Даламбера в каждый момент времени имеет место равновесие между заданными силами F„, силами инерции и реакциями связей. Следовательно, если системе сообщить произвольное возможное перемещение, то сумма работ заданных сил, сил инерции и реакций связей будет равна нулю. Но если возможное перемещение будет допускаться связями, имеющими место в момент t, то