Бифуркация означает «раздвоение» и употребляется как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любой системе: динамической, экологической и т. д. Наш обзор посвящен бифуркациям фазовых портретов дифференциальных зфавнений - не только бифуркациям положений равновесия и предельных циклов, но перестройкам системы в целом и, прежде всего, ее инвариантных множеств и аттракторов. Такая постановка проблемы восходит к А. А. Андронову.

Связи с теорией бифуркаций пронизывают все естествознание. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные значения которых, как правило, неизвестны. Если уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно неустойчивым, то есть поведение его решений может качественно измениться при сколь угодно малом изменении правой части, то необходимо понять, какие бифуркации фазового портрета происходят при изменении параметров.

Часто модельные системы оказываются настолько громоздкими, что не допускают содержательного исследования, прежде всего из-за обилия входящих в них переменных. При изучении таких систем часть переменных, мало меняющихся в ходе процесса, как правило, полагают постоянными. В результате получается система с меньшим количеством переменных, которая и исследуется. Однако учесть влияние отброшенных членов в исходной модели, рассматриваемой «индивидуально», зачастую невозможно. В этом случае отброшенные члены можно рассматривать как типичные возмущения, и описывать исходную модель средствами теории бифуркаций.

Перефразируя известные слова Пуанкаре о периодических решениях, можно сказать, что бифуркации, как факелы, освещают путь от исследованных динамических систем к неисследованным. Эту роль теории бифуркаций использовали Л. Д. Ландау и позже Э. Хопф, предложившие эвристическое описание перехода от ламинарного течения к турбулентному при возрастании числа Рейнольдса. В сценарии Ландау этот переход осуществлялся через бифуркации торов все возрастающей размерности. После того, как зоопарк динамических систем и их бифуркаций необозримо разросся, появилась масса работ, описывающих, в основном на физическом уровне строгости, переход от регулярного (ламинарного) движения к хаотическому (турбулентному). С помощью исследования цепочки бифуркаций объяснено хаотическое поведение трехмодовой модели Лоренца конвективного движения; это объяснение не вошло в настоящий обзор, поскольку в него, по соображениям объема,

не включены бифуркации в системах с симметриями: система Лоренца центрально симметрична.

К теории бифуркаций, в которой параметры не меняются с течением времени, тесно примыкает теория релаксационных колебаний, изучающая семейства, в которых параметры с течением времени медленно меняются (эти параметры называются «медленными леременными»). В «быстро-медленн)1е» системы теории релаксационных колебаний входит параметр медленности- характерная скорость изменения медленных переменных. При нулевом значении этого параметра быстро-медленная система превращается в семейство, изучаемое в теории бифуркаций; при ненулевом возникают специфические явления, иногда называемые «динамическими бифуркациями».

В обзоре систематически используется связь теории бифуркаций с теорией особенностей. Решение многих, в основном, локальных, проблем теории бифуркаций состоит в том, чтобы предъявить и исследовать так называемое главное семейство - своего рода топологическую нормальную форму для семейств исследуемого класса. Теория особенностей позволяет угадать и частично исследовать главные семейства. Она описывает также бифуркации положений равновесия, особенности медленной поверхности, медленные движения в теории релаксационных колебаний и т. д.

Отметим также, что для нелокальной теории бифуркаций оказываются особенно полезными конечногладкие нормальные формы локальных семейств дифференциальных уравнений. Эти нормальные формы значительно упрощают отыскание и исследование бифуркаций, а также обоснование и исследование полученных результатов. С другой стороны, нелокальная "теория бифуркаций позволяет выделить задачи теории нормальных форм, важные для приложений. На наш взгляд, связь между теорией нормальных форм и нелокальной теорией бифуркаций в настоящее время используется недостаточно.

Наряду с известными, обзор включает ряд новых результатов; некоторые из них известны авторам из частных сообщений. К ним относятся: полное исследование бифуркаций положений равновесия в типичных двупараметрических семействах векторных полей на плоскости с двумя пересекающимися инвариантными прямыми (так называемая редуцированная задача о двух мнимых парах, Жолондек, п.п. 4.5, 4.6 главы 1); построение конечногладких нормальных форм и функциональных модулей С-классификации локальных семейств векторных полей и диффеоморфизмов (совместно с С. Ю. Яковенко, п.п. 5.7- 5.10 главы 2); построение топологического инварианта векторных полей с гомоклинической траекторией седла, имеющего-комплексные собственные значения (п. 5.6 главы 3); описание типичной двупараметрической деформации векторного поля с двумя гомоклиническнми кривыми седла, причем бифуркацион-

ная диаграмма деформации содержит континуум компонент (Д. В. Тураев, Л. П. Шильников, п. 7.2 главы 3); определение «статистически предельного множества» - возможного кандидата на понятие «физического аттрактора» (п. 8.5 главы 3); указание связи между теориями неявных уравнений и релаксационных колебаний и нормализация медленных движений для быстро-медленных систем с одной и двумя медленными переменными (п.п. 2.2-2.7 главы 4); нормализация быстро-медленных уравнений, написание и исследование систем первого приближения (п.п. 3.2-3.5 главы 4); исследование затягивания потери устойчивости в типичных быстро-медленных системах при переходе пары собственных значений устойчивой особой точки быстрого уравнения через мнимую ось (динамическая бифуркация рождения цикла; А. И. Нейштадт, § 4 главы 4). Отметим также гипотезу о бифуркациях в типичных многопараметрических <;ем)ействах векторных полей на плоскости, тесно связанную с шестнадцатой проблемой Гильберта (п. 2.8 главы 3).

Наш обзор, естественно, является неполным. Мы не включили в него, сравнительно немногочисленные, работы о локальных бифуркациях в трехпараметрических семействах и о нелокальных бифуркациях в двупараметрических семействах; некоторые ссылки даны в списке литературы. В описании нелокальных бифуркаций мы ограничились только теми, которые происходят на границе множества систем Морса-Смейла. Теория таких бифуркаций в значительной части завершена, хотя и недостаточно широко известна: посвященные ей работы математиков Горьковской школы зачастую публиковались в труднодоступных источниках. Не исследована та часть границы множества систем Морса-Смейла, на которой возникает счетное множество неблуждающих траекторий; этой проблеме посвящен § 7 главы 3. Для сохранения единства стиля мы формулируем известные результаты зачастую не в том виде, как в первоисточниках.

Главы 1 и 2, кроме п. 1.6, написаны В. И. Арнольдом и Ю. С. Ильяшенко. Глава 3, в ее окончательной редакции, написана В. С. Афрамовичем и Ю. С. Ильяшенко при участии В. И. Арнольда и Л. П. Шильникова. Пункт 1.6 главы 2 написан В. С. Афраймовичем. Параграфы 1 и 2 главы 4 написаны В. И. Арнольдом, § 3, кроме п. 3.7, Ю. С. Ильяшенко. Пункт 3.7 главы 4 написан Н. X. Розовым, § 4 - А. И. Нейштадтом, § 5 - А. К- Звонкиным. Авторы приносят им свою искреннюю благодарность. Список литературы не претендует на полноту. При его составлении мы исходили из тех же принципов, что и в обзоре [26]; в частности, использовалась система двойных ссылок - [о: Ь] или [с, стр. Ь]. Первое обозначает работу [Ь] из списка литературы в [с], второе-работу, цитированную в [с] на стр. [Ь]. .Знак ▲ указывает конец некоторых формулировок.