ров 1, -1) можно провести с помощью усреднения в слоении Зейферта или Мёбиуса, как это сделано ниже.

3.2. Усреднение в слоениях Зейферта и Мёбиуса. Рассмотрим в произведении SxC дифференциальное уравнение z = = i(i)z, (а=р/д, eR/2nZ=S, zGC. Разбиение расширенного фазового пространства SxC на интегральные кривые этого уравнения называется слоением Зейферта типа р/д. Все решения этого уравнения, кроме нулевого, 2я9-периодичны и каждая интегральная кривая переходит в себя при повороте в плоскости z на угол 2лр/д.

Пусть V - произвольное вертикальное (касающееся слоев {}ХС) векторное поле в расслоенном над произведении Sx ХС Усредним его по времени вдоль интегральных кривых предыдущего уравнения. Под этим понимается следующее. Поле v определяет поле v на универсальной накрывающей RxC пространства SxC, переходящее в себя при сдвигах R на 2я. Фиксируем начальное сечение, скажем {о} X С. Все пространство расслоения RxC отображается на это сечение так, что каждая фазовая кривая поля i(iizd/dz-\-d/dt переходит в свою точку на начальном сечении. Это отображение переносит векторы накрывающего поля v в начальное сечение. В каждой точке начального сечения возникает периодически зависящий от t вектор. Усредняя его по t, получаем вектор усредненного поля в рассматриваемой точке плоскости С.

Эта операция и называется усреднением в слоении Зейферта. Произвольное векторное поле v при усреднении в слоении Зейферта превращается в Zg-эквивариантное векторное поле на плоскости.

Рассмотрим еще произведение листа Мёбиуса на прямую, получаемое из пространства R отождествлением точек {t, х, г) и (+2я, л, -г). Разбиение этого пространства на интегральные кривые уравнения л:=0, г = 0 называется слоением Мёбиуса. Это слоение является «линейным приближением» при изучении предельного цикла с мультипликаторами и -1. При усреднении в этом слоении возникают Хд-эквивариантные векторные поля на плоскости, деформации которых описаны в п. 4.4 главы 1.

3.3. Главные поля и деформации.

Определения. 1. Главными особыми Z5-эквивapиaнтны-ми уравнениями и полями при q>2 называются уравнения

z = Az\z\Bz<}\ Z6R2,

и соответствующие им векторные поля на плоскости.

2. Главной деформацией главного особого Zg-эквивариантно-го векторного поля vo(q>2) называется двупараметрическое

-семейство Ve=ez-\-Vo, где параметрами являются вещественная и мнимая часть е.

3. Главными особыми 2,-эквивариантными уравнениями и по--лями при = 2 и q = l назьщаются соответственно уравнения х = ах + Ьху ( = 2), х=ах-{-Ьху {q=l) и задающие их векторные поля на фазовой плоскости (х, у=х).

4. Главной деформацией главного особого поля при q=2 и -q=l называется деформация, состоящая в прибавлении к правой части уравнения второго порядка слагаемых ax+fiy{q = 2) ш а+х (9=1).

Список главных деформаций главных особых Zg-эквивари--антных векторных полей следующий

z=-ez-{-Az\z\-{-Bz-\ q>3,

xax-{-fiy-\-ax-{-bxy, q=2,

x=a-rx-г ax+bxy, q = l.

Здесь переменные z, e. A, В - комплексные, x, у, a, p, a, b - Фещественные, параметры деформации обозначены греческими •буквами; у=х.

3.4. Версальность главных деформаций.

«Теорем а». Все главные особые Zg-эквивариантные поля лри каждом q можно разделить на вырожденные и невырожденные так, что:

1) В типичных двупараметрических семействах ростков 2,-эквивариантных векторных полей в нуле встречаются только такие ростки с нильпотентной линейной частью, которые экви-..валентны одному из невырожденных главных полей.

2) Соответствующие локальные семейства эквивалентны главным деформациям и версальны.

3) Вырожденные поля образуют объединение конечного числа подмногообразий в пространстве главных особых полей.

3) Невырожденные поля образуют объединение конечного числа открытых связных областей.

5) Главные деформации ростков невырожденных полей в каждой компоненте связности топологически эквивалентны.

Слово «теорема» заключено здесь в кавычки потому, что теорема доказана лишь при =#=4 [20], [21], [104]. При =#=4 условия невырожденности можно выписать явно: афО, ЬфО при 9=1; 2; ЯеАфО, ВфО при q = 3 и 95. Бифуркационные диаграммы и перестройки фазовых портретов при q=l приведены выше на рис. 10, при q=2 - на рис. 23 (заменами времени добиваемся b<zO); при q = 3 и =5-на рис. 24, 25 (заменами времени добиваемся НеЛ<0).

3.5. Бифуркации стационарных решений периодических дифференциальных уравнений при сильных резонансах порядка qt 4.

Рис. 23. Бифуркации в главном гг-эквиварнантном семействе