Рис. 24. Бифуркации в главном гз-эквивариантном семействе

В каждом из главных Zg-эквивариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает q-ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки д-й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения; входящим и выходящим сепаратрисам седел - устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор-

Рис. 25. Бифуркации в главном 2б-эквивариантном семействе

физмов типичного однопараметрического семейства могут касаться при некоторых значениях параметров. Такое касание называется гомоклиническим или гетероклиническим в зависимости от того, касаются ли инвариантные кривой одной или разных особых точек диффеоморфизма. Рассмотрим значение параметра главного Zg-эквивариантного семейства, соответствующее векторному полю с петлей сепаратрисы (случай q=l, 2) или сепаратрисным многоугольникам (случаи q=2, 3, 4). Следует ожидать, что существует близкое значение параметра семейства периодических дифференциальных уравнений, которому соответствует гомоклиническое или гетероклиническое касание инвариантных многообразий неподвижных точек q-й степени преобразования монодромни. Бифуркации таких диффеоморфизмов описаны в § 6 главы 3. Здесь отметим только, что при таких бифуркациях возникают, как правило, нетривиальные гиперболические множества.

Гипотеза. В типичных двупараметрических семействах векторных полей, в которых происходит потеря устойчивости предельным циклом с прохождением через сильный резонанс, встречаются векторные поля с йетривиальными гиперболическими множествами. Соответствующие им значения параметра подходят к критическим узкими языками.

Замечания. 1. Насколько нам известно, эта гипотеза не доказана, хотя близкие утверждения формулировались давно ([20, §213]).

2. Объединение гиперболического множества, возникающего при гомоклиническом касании, и всех траекторий, которые к нему притягиваются, вообще говоря, имеет в фазовом пространстве меру нуль. Однако множество траекторий положительной меры находится вблизи гиперболического чрезвычайно долгое, по сравнению с периодом цикла, время (с точки зрения физического наблюдателя это время можно считать бесконечным). Поэтому при потере устойчивости предельным циклом вблизи сильного резонанса следует ожидать возникновения хаоса.

3. Рассмотрим однопараметрическое семейство, в котором происходит потеря устойчивости предельным циклом при переходе пары мультипликаторов через единичную окружность вблизи точки -1. При изменении параметра семейства возможна такая последовательность событий: устойчивый цикл мягко теряет устойчивость с образованием тора, на котором быстро образуется перетяжка, так что форма меридиана тора приближается к восьмерке; при подходе к центру восьмерки (где находится неустойчивый цикл) притягивающее множество, оставаясь близким к тору с почти стянувшимся в восьмерку меридианом, разрушается вблизи гомоклинической сепаратрисы (Ю. И. Ней-марк).

В этом случае фазовая траектория совершает витки вокруг то одной, то другой половины разрушенного тора, перескакивая с одной стороны на другую случайным на вид образом.

§ 4. Бифуркации предельных циклов при прохождении пары мультипликаторов через +t

Для исследования потери устойчивости циклом с мультипликаторами, близкими к ±1, необходимо изучить семейство уравнений

z6z-\-Pz\z\2-\-Qz (10)

Ниже описываются бифуркации фазовых портретов в этом семействе.

4.1. Вырожденные семейства. Здесь ищутся те значения Р и Q, при которых в семействе (10) с параметром беС\0 (при фиксированных Р и Q) происходят нетипичные бифуркации.

Лемма. Семейство (10) с параметром беС\0 при PQO эквивалентно (может быть, после обращения времени) индуцированному из семейства

i=ez + Az\z\+z (11д)

с параметром е : е =1, причем А = а+Ы, аО, ЬО.

Ч Равенства е = 1 можно добиться умножением времени на подходящую константу. Изменяя, если нужно, знаки времени и