Введем в рассмотрение класс ф-сгЧ* однопараметрических семейств векторных полей на сфере, выделяемый следующими условиями: 1) каждое векторное поле в семействе либо грубое, либо квазиобщее, 2) семейство трансверсально пересекает бифуркационное множество, 3) если семейство содержит квазиобщее векторное поле, отвечающее ситуации рис. 32, то выполнены условия типичности, сформулированные в следующем пункте.

По-видимому, теорема пункта 2.2 справедлива для семейств, принадлежащих Ф* (S).

2.4. Условия типичности. Предположим, что семейство {v} содержит векторное поле, отвечающее ситуации рис. 32. На трансверсали I к циклу с мультипликатором определено отображение последования /о векторного поля Vq. Пусть х - локальная координата.на I такая, что: 1) циклу соответствует х=0; 2) Ри--, Рк - точки сепаратрис (различных) седел, ©-асимптотических к циклу, а Ql,..., Qm - а-асимптотических к нему, такие что

x(P,)<...<x{P,)<x(foPd<0<x(Q,)<.-.

..<(QJ<->c(/oQi)-Если kl или ml, то никаких условий, кроме 1), 2) (в предыдущем пункте), на семейство не налагается. Пусть k> >1 и т>1. Как установлено в [169], [180], /о можно вложить в однозначно определенный гладкий поток {g*} на 1, так что to(P)=g4P)- Положим

Рг =gPi. ...,Pkg-Pi. Q2=g*Qi.....QmZ-Qi.

Условия общего положения [169]:

i+h «=P; i. ye{i.....k-\\, a, pe{i.....m-\}.

В [169] приведена схема доказательства структурной устойчивости семейства (точнее, схема доказательства версальности деформации поля Оо) при выполнении сформулированных условий. Если эти условия не выполнены, то существует сколь угодно близкое к исходному семейство, содержащее векторные поля с двумя (или больше) седловыми связками (Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, 1986).

2.5. Однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от сферы. Ясно, что для любой поверхности можно выделить класс однопараметрических семейств векторных полей Ф*"(Л1), аналогичный Ф*-(5), т. е. класс дуг в функциональном пространстве, пересекающих бифуркационное множество лишь в точках множества квазиобщих векторных полей. Это сделано в [169], где приведена схема доказательства открытости такого класса в множестве всех однопараметрических семейств. Изо-

лированные бифуркационные значения в семействе этого класса отвечают системам 1-ой степени негрубости.

Определение ([6]). Динамическая система называется системой 1-й степени негрубости, если она не груба и существует такая ее окрестность, что каждая динамическая система из этой окрестности либо груба, либо орбитально топологически эквивалентна исходной, причем сопрягающий гомеоморфизм близок к тождественному. Векторное поле, порождающее систему 1-й степени негрубости, называется векторным полем 1-й степени негрубости.

Теорема ([6], [8], [9], [15], [16]). Пусть замкнутая поверхность М либо ориентируема, либо неориентируем а и рода иЪ. Тогда гладкая динамическая система на М, обладающая следующими свойствами: 1) квазиобщая; 2) не имеющая сепаратрис седел, содержащих в множестве своих предельных точек петли сепаратрис других седел (или того же самого седла); 3) не имеющая сепаратрисы седла, содержащей в множестве своих а-предельных (а-предельных) точек негиперболический цикл, который содержался бы также в множестве со-предельных (а-предельных) точек некоторой сепаратрисы другого или того же самого седла и, в частности, не имеющая контуров; 4) не имеющая гомоклинических траекторий негиперболического цикла - является системой 1-й степени негрубости.

Следствие. Бифуркации систем первой степени негрубости на указанных в теореме поверхностях полулокальны. (Всегда можно указать конечное множество траекторий, в окрестности которого только и происходит рождение или исчезновение неблуждающих траекторий или слияние сепаратрис). Фактически, это бифуркации полуустойчивых циклов, седловых связок и петель сепаратрисы (рис. 34).

Точки накопления бифуркационных значений в семействе из ф*--(М) и бифуркации в окрестностях этих точек могут быть рассмотрены аналогично соответствующим бифуркациям в семействе Ф*(5), по крайней мере, если поверхность ориентируема [169]. Однако для поверхностей, на которых система может иметь нетривиальные (т. е. отличные от положения равновесия и цикла) устойчивые по Пуассону траектории, т. е. для всех поверхностей, кроме сферы S, проективной плоскости и бутылки Клейна К, в типичном однопараметрическом семействе могут неустранимым образом встречаться векторные поля с бесконечным неблужающим множеством. Бифуркации в таких семействах совершенно не описаны, кроме бифуракции систем с глобальной секущей на двумерном торе (см. следующий пункт). Однако известно, что существуют типичные однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от S, Р, Ю, которые содержат негрубые векторные поля бесконечной степени негрубости (С. X. Арансон, Функц. анализ и его прил., 1986, 20, № 1, 62-63). Для систем на справедлив следующий результат.

Теорема ([6]-[9]). Множество систем первой степени негрубости открыто и плотно в множестве всех негрубых систем на S2.

Для векторных полей на двумерном торе установлен более слабый результат.

Теорема (С. X. Арансон, 1986). Множество векторных полей первой степени негрубости на торе открыто и плотно в пространстве негрубых векторных полей без особых точек с топологией, индуцированной из %{Т). Это утвержедние верно и для Р2 и К.

В обеих теоремах предполагается класс гладкости не меньше 2.

2.6. Глобальные бифуркации систем с глобальной секущей на торе. Исследование потоков на торе с глобальной секущей сводится к исследованию диффеоморфизмов окружности (являющихся отображениями последования). Здесь основной характеристикой, определяющей топологическую структуру, является число вращения Пуанкаре. Оно же характеризует глобальные- бифуркации, осуществляющиеся при изменении параметра.

В [82] было отмечено, что зависимость числа вращения от параметра может описываться канторовской функцией.

Определение. Непрерывная функция (о(е) : [а, b]-R - канторовская, если: 1) на [а, Ь] задано множество С, гомео-морфное канторову совершенному множеству; 2) функция о> постоянна на всех смежных интервалах (связных компонентах разности [а, Ь]\С) и не равна константе на [а, Ь].

Для векторного поля класса С, г2, непрерывно зависящего от lE, интервалы постоянства числа вращения могут соответствовать как рациональным, так и иррациональным значениям (о; кроме того, некоторым рациональным значениям могут не .соответствовать интервалы постоянства

Следующая теорема, доказанная в [17] методами работы [18] (см. [13]), устанавливает достаточные условия «общности» однопараметрического семейства отображений окружности.

Теорема. Пусть /g-.S-S, Еб[а, й],-аналитически зависящее от Е семейство аналитических диффеоморфизмов (или аналитических гомеоморфизмов, не являющихся диффеоморфизмами) такое, что: 1) накрывающие отображения /e:R-R имеют вид: /е(х) = х-\-11{х, в), где й -аналитическая по х, s функция, имеющая период 1 и такая, что при всех xeR\ Еб[а, Ь], выполнено одно из соотношений:с?й/(?е<О, либо дН/двуО; 2) /(г) - целая функция комплексного переменного, и на комплексной

> Напомним, что рациональному числу вращения соответствует поле-с циклом.