3. Как описать однопараметрические деформации квазиобщих систем, не являющихся системами первой степени негрубости, в частности, бифуркации, в результате которых появляются и исчезают нетривиальные устойчивые по Пуассону траектории? (По-видимому, здесь не обойтись без символической, динамики типа теории нидинг-последовательностей [135], [165].)

4. Что можно сказать о бифуркациях градиентных систем?

§ 3. Бифуркации гомоклинических траекторий негиперболической особой точки

Бифуркации, описанные в этом параграфе, происходят в однопараметрических семействах общего положения и приводят к возникновению грубого предельного цикла или нетривиального гиперболического множества.

3.1. Узел по гиперболическим переменным.

Теорема ([109]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому (критическому) значению параметра соответствует векторное поле Vo с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, узел по гиперболическим переменным и гомоклиническую траекторию Г точки О. Тогда все некритические поля семейства, достаточно близкие к критическому, либо имеют две особые точки, близкие к О (когда параметр лежит по одну сторону от нуля), либо имеют устойчивый (или вполне неустойчивый)" предельный цикл, когда параметр лежит по другую сторону от нуля. Этот цикл стремится к ГиО при стремлении параметра к нулю.

Требования общности положения. 1. На росток семейства в точке (О, 0) произведения фазового пространства на пространство параметров налагаются те же требования общности положения, что и в п. 2.1, гл. 1.2. На поле Vq налагается следующее нелокальное требование: Ti]W=0. Другими словами, гомоклиническая траектория входит внутрь, а не в-край устойчивого множества. 3. Локальное семейство трансверсально пересекает гиперповерхность векторных полей с вырожденной особой точкой.

Предыдущий результат можно сформулировать на языке пространств векторных полей.

Теорема. Пусть поле Vo удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям. Тогда в пространстве C(t/) векторных полей на некоторой окрестности U кривой FIJO, наделенном топологией С, существует окрестность W поля Vo, обладающая следующим свойством. Окрестность W делится на две области гиперповерхностью В, проходящей через Vo, причем: все поля,, лежащие по одну сторону от В, имеют две особые точки вбли-

Цикл называется вполне неустойчивым, если ов становится устойчивым при обращении времени.

зи О; все поля, лежащие по другую сторону от В, имеют устойчивый или вполне неустойчивый предельный цикл; все поля, ле-ж:ащие на В, топологически эквивалентны Vo в области U.

Замечание. Все теоремы о бифуркациях вырождений коразмерности 1 имеют двойственные формулировки: на языке однопараметрических семейств и на языке гиперповерхностей в функциональном пространстве. Ниже теоремы формулируются в основном на языке семейств.

3.2. Седло по гиперболическим переменным: одна гомоклини-ческая траектория. Векторное поле с вырожденной особой точкой типа седло по гиперболическим переменным может иметь любое конечное число гомоклинических траекторий особой точки; такие поля встречаются неустранимым образом в однопараметрических семействах общего положения. Обозначим через р число гомоклинических траекторий вырожденной особой точки О. Случаи р=1 и р>1 резко отличаются друг от друга.

Теорема ([ПО]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому критическому значению параметра соответствует векторное поле Vo с вырожденной особой точкой О типа седло по гиперболическим переменным, имеющей одно собственное значение О и одну гомоклиническую траекторию. Тогда для этого семейства справедливо заключение первой теоремы п. 3.1, только рождающийся грубый цикл 5удет седловым (то есть гиперболическим, но ни устойчивым, ни вполне неустойчивым).

Требования общности положения на поле Vo и на семейство те же, что в п. 3.1 и, кроме того, требуется, чтобы устойчивое и неустойчивое множества пересекались трансверсально.

При бифуркации нескольких гомоклинических траекторий получаются поля, описываемые с помощью топологической схемы Бернулли.

3.3. Топологическая схема Бернулли. Пусть Q - пространство бесконечных в обе стороны последовательностей, составленных из р символов {1,..., р} с расстоянием

2l*l

k=-co

ш = (.. .K.i, Ко, Ki----), a)==(.. .alj, a, a[, ...).

Через g:Q-Q обозначим гомеоморфизм, сдвигающий каждый член последовательности на следующее место:

Пара (о, Q) называется топологической схемой Бернулли. Надстройка над топологической схемой Бернулли - это периодическое векторное поле Х„, преобразование монодромии которого совпадает с о. Это поле получается из стандартного векторного

ПОЛЯ didt на прямом произведении /XQ, /={е[0, 1]}, с помощью склейки я точек (О, ato) и (1, ш). Фазовый поток на подмножестве 2 евклидова пространства топологически эквивалентен надстройке над схемой Бернулли, если существует гомеоморфизм Е-»-/ХО/и, переводящий исходное поле в Х„.

Замечание. Подмножество 2 похоже на прямое произведение канторова совершенного множества на окружность.

Пример. Пусть Ki и /Гг-два квадрата на плоскости со сторонами длины 1, параллельными координатным осям, и центрами (1, 0) и (3, 0). Рассмотрим отображение fiKiUKz-

R2; отображение f \Ki:{x, у)>- А {{х, y)-{-ai) - суперпозиция переноса на вектор и гиперболического поворота Л: W, (х,у)-{{Ох,ОЛу) (рис.41), а, = (-1, 1), а2=(-3, 3). Множество точек плоскости, на которых определены все (положительные и отрицательные) итерации отображения /, гомео-морфно отображается на пространство последовательностей из двух символов следующим образом: точке Р соответствует последовательность ak{P), причем а(Р)=1, если и только если f (P)eKi. Нетрудно доказать, что это отображение - гомеоморфизм; очевидно, он сопрягает отображение / со сдвигом сг.

Рис. 41. Модельное отображение в задаче о бифуркации двух гомоклинических траекторий седлоузла

3.4. Седло по гиперболическим переменным: несколько гомоклинических траекторий.

Теорема ([113]). В типичном однопараметрическом семействе векторных полей встречаются векторные поля с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, седло по гиперболическим переменным и р гомоклинических траекторий Г, точки О, р>1. Тогда для всех полей v, соответствующих достаточно близким к критическому значениям параметра, лежащим по одну сторону от критического значения, справедливо следующее утверждение. Для некоторой окрестности и объединения ОиГ,- ограничение потока поля на множество неблуждающих траекторий топологически эквивалентно надстройке над топологической схемой Бернулли из р символов.