Требования общности положения на семейство - те же, что в п. 3.2. Механизм возникновения инвариантного множества при р=2 иллюстрируется примером п. 3.2.

Предположим теперь, что 5g П 50 = 0 U ( U Tj, причем

устойчивое и неустойчивое множества пересекаются трансверсальна по Tl, i = l, ...,р. Предположим также, что поле Vq лежит на границе множества векторных полей Морса-Смейла, его неблуждающее множество конечно, гиперболично (кроме нуля), и устойчивые и неустойчивые многообразия гиперболических неблуждающих траекторий трансверсально пересекаются между собой и с So, 5о, Wo, Wo- Из следующей теоремы вытекает достижимость бифуркационной поверхности с обеих сторон.

Теорема. При выполнении сформулированных условий для векторного поля Vq существует такая окрестность U поля о в %{М), что для любой системы vU, не имеющей равновесия в окрестности точки О, справедлива аксиома А и услдвие сильной трансверсальности Смейла.

Напомним, что векторное поле удовлетворяет аксиоме А, если его множество неблуждающих точек гиперболично и в нем плотны периодические траектории поля. Условие сильной трансверсальности состоит в следующем: устойчивые и неустойчивые многообразия всех неблуждающих траекторий пересекаются трансверсально. Подробнее о гиперболической теории см. том 2 настоящего издания.

3.5. Главные семейства. Построим сначала главные семейства - нормальные формы деформаций векторных полей из п. 3.2 в трехмерном фазовом пространстве; зтих семейств два. Рассмотрим куб Ко - lill, ->21, lll и векторное поле в Ко-

Склеим точки граней z==l и z= -1 куба Ко двумя разными способами. Положим

1) /+ : {xi, Х2, 1)(л-1, Х2, -1);

2) /- : {Xi, Х2, l)-{-Xi, -Х2, -1).

Получим трехмерные многообразия К* и К, гомеоморфные друг другу (и прямому произведению двумерного диска на 5), и векторные поля -v и v~ соответственно. Легко проверяется, что:

1) при е<0 г)± имеет в два гиперболических положения

равновесия Oj, О2- dimWi = 2, dimlFg,=,2, причем Woi и Wq, трансверсально пересекаются по двум гиперболическим траекториям Tl и Гг; 2) при Oi и Ог сливаются по траектории Гь образуя О при е=0; Гг превращается в гомоклиническую

траекторию Г; 3) при е>0 Ve имеет седловой предельный цикл Z-E (.1 = -2=0), который является единственной неблуждающей траекторией поля "О в К, причем для поля устойчивое и неустойчивое многообразия цикла являются цилиндрами, а для v~-листами Мёбиуса.

Теорема (о нереальности). Росток однопараметрического семейства общего положения векторных полей {We} на гомоклинической траектории негиперболической особой точки-седла по гиперболическим переменным в -топологически эквивалентен ростку одного из главных семейств {-о} или" на гомоклинической траектории поля или о"

Доказательство теоремы проводится с использованием техники работ [113], [32]. Для произвольного п имеет место аналог этой теоремы - главное семейство получается надстройкой гиперболического положения равновесия над {v} или {v~}.

Аналогично строятся главные деформации уравнений, описанных в п. 3.1, и формулируется теорема об их версальности. Для каждого п главная деформация единственна.

§ 4. Бифуркации гомоклинических траекторий негиперболического цикла

Бифуркации, названные в заглавии, приводят к возникновению инвариантных торов и бутылок Клейна, к рождению сложных инвариантных множеств со счетным числом циклов и странных аттракторов. Некоторые случаи изучены не полностью; в п. 4.11 формулируются открытые вопросы. В конце параграфа рассматривается структурная устойчивость однопараметрических семейств диффеоморфизмов.

4.1. Структура семейства гомоклинических траекторий. Как указывалось в § 1, точке общего положения на границе множества систем Морса-Смейла соответствует поле с гомоклинической траекторией негиперболического цикла, только если один мультипликатор этого цикла равен 1. На бифуркации такого поля существенно влияет компактность или некомпактность объединения цикла и множества его гомоклинических траекторий.

Остановимся на компактном случае; некомпактный обсуждается в п. 4.7.

Лемма ([30], [33]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения встретилось векторное поле с негиперболическим циклом, имеющим мультипликатор 1, объединение которого со всеми его гомоклиническимн траекториями компактно. Тогда это объединение состоит из конечного числа (скажем, р) непрерывных двумерных многообразий, каждое из которых гомеоморфно тору или бутылке Клейна. Если цикл - типа узел

по гиперболическим переменным, то р=1, и рассматриваемое объединение совпадает с 5" или 5* для устойчивого или неустойчивого узла соответственно.

Другое важное свойство, определяющее характер бифуркации (а также гладкость описанных в лемме многообразий),- это так называемая критичность цикла.

4.2. Критические и некритические циклы. Пусть гладкое векторное поле имеет предельный цикл с мультипликатором единица типа «устойчивый узел по гиперболическим переменным». Тогда некоторая окрестность цикла наделена гладким слоением со слоями коразмерности 1, инвариантным относительно потока и сильно устойчивым: каждый слой экспоненциально сжимается при сдвиге вдоль траекторий поля за положительное время [162], [180]. Один из слоев совпадает с устойчивым многообразием цикла. Аналогично описывается сильно неустойчивое слоение в случае неустойчивого узла по гиперболическим переменным.

Пусть цикл векторного поля имеет мультипликатор 1 и является седлом по гиперболическим переменным. Тогда ограничение поля на центрально устойчивое (центрально неустойчивое) многообразие Ws<=(W«c) имеет цикл типа устойчивый (неустойчивый) узел по гиперболическим переменным. На многообразиях W и можно определить, как и выше, сильно устойчивое и сильно неустойчивое слоения, обозначаемые через F"" и

Определение ([180]). Предельный цикл векторного поля с мультипликатором единица называется s-критическим, если либо существует гиперболическое положение равновесия или гиперболический цикл, чье устойчивое или неустойчивое многообразие касается одного из слоев F" на S% либо неустойчивое множество цикла касается одного из этих слоев.- В последнем случае объединение гомоклинических траекторий цикла называется s-критическим. Аналогично определяются и-хритические цикл и объединение его гомоклинических траекторий: нужно .только заменить S«, S на S" и S\ Цикл и объединение его гомоклинических траекторий называются критическими, если они S- или и-критические, и некритическими в противном случае (рис. 42).

Замечание. Торы и бутылки Клейна в лемме п. 4.1 - гладкие, если объединение гомоклинических траекторий цикла некритическое; в противном случае среди них есть негладкие.

4.3. Рождение гладкого двумерного аттрактора. Мы используем определение аттрактора из [26, стр. 42], которое воспроизводится ниже на стр. 155. Результаты этого и следующего пунктов параллельны результатам § 3, только вместо негипер-болнческкх особых точек с собственным значением нуль бифур-цируют негиперболические циклы с мультипликатором 1. В ре-