гичным сформулированным в начале п. 4.7) на границе множества систем Морса - Смейла Bi, имеющее негиперболический цикл L. Предположим, что имеет место одна из следующих возможностей: 1) L-цикл с мультипликатором (-1); 2) Z-цикл с парой невещественных мультипликаторов (напомним, см. п.п. 1.4,1.6, что в случаях 1) и 2) L не входит в состав контура, и не имеется двоякоасимптотических к L траекторий, отличных от L); 3) L- цикл с мультипликатором +1» и либо: (За), SlfiSiL (нет гомоклинических траекторий цикла L), либо (36) 5"П 51-бутылка Клейна, гладко вложенная в фазовое пространство, либо (Зс) Si П П 51 -гладкий тор.

Лемма. При выполнении сформулированных условий в окрестности Vo в хЦМ) всюду плотны системы Морса-Смейла.

Эта лемма следует из теоремы Купки-Смейла [138] и из всюду плотности систем Морса-Смейла на торе и бутылке Клейна.

Остается решить вопрос о достижимости или недостижимости бифуркационной поверхности и, в последнем случае, определить бифуркации, которыми недостижимость обусловлена.

Утверждение. В случае 1) пересечение BifW связно, где cxiM)-шар достаточно малого диаметра с центром в Vq, и все векторные поля в %\Bi являются полями Морса- Смейла.

Как следствие получаем достижимость с обеих сторон Bi в точке Уо.

Утверждение легко следует из некоторого варианта теоремы о непрерывной зависимости инвариантных многообразий от параметров, вытекающего, например, из [162].

В случае 2) после рождения тора «почти» для любого однопараметрического семейства векторных полей при изменении параметра число вращения меняется, следовательно, происходит бесконечное множество бифуркаций. Однако есть семейства, для которых при изменении параметра число вращения на торе не меняется - бифуркационная поверхность может быть и достижимой.

В случае 3) информацию о достижимости соберем в следующую таблицу, детализирующую часть общей таблицы 2 пункта 1.8.

Здесь через Wt и W" обозначены устойчивые и неустойчивые многообразия гиперболических положений равновесия или циклсв. Поясним, из-за чего может возникать недостижимость в случае (За) на рис. 44, где изображен диффеоморфизм двумерного диска, имеющий при е=0 неподвижную точку Q с мультипликатором 1, и два седла Qi, Q2, причем Sq трансверсально пересекается с Wqs, а Wqi содержит точку Р простого касания со слоем слое-

Таблица 2

ния Fq. При е>0 окрестность Р диффеоморфно отображается в окрестность точки на Wq и, при подходящем выборе е, Wq и Wqj имеют точку простого касания.

В случае (Зс) недостижимость связана с изменением числа вращения на возникшем торе, а в случае (ЗЬ) - с возникновением точек простого касания устойчивых и неустойчивых многообразий гиперболических циклов на бутылке Клейна и «далеких» положений равновесия или циклов.

Рис. 44. Неподвижные точки и инвариантные кривые диффеоморфизма диска, принадлежащего недостижимой части бифуркационной поверхности

4.10. Устойчивость семейств диффеоморфизмов. В работах [178]-[180] исследовались общие свойства однопараметрических семейств диффеоморфизмов, были сформулированы раз-

личные определения устойчивости и установлены необходимые и (или) достаточные условия различных типов устойчивости, некоторые из которых были доказаны. Изложение следует работе [180].

Пусть М - компактное С°°-гладкое многообразие без края, Diff (М) - множество С"-диффеоморфизмов, MS - множество диффеоморфизмов Морса-Смейла, (М) - множество С" дуг диффеоморфизмов М. То есть если / - единичный интервал, то (М) состоит из С"-отображений Ф : MxIMxI таких, что ф(т, е) = (фе(т), е), где m фДт) - С~-диффеоморфизм для каждого еб/. Элементы {М) будем называть однопараметри-ческими семействами диффеоморфизмов или дугами диффеоморфизмов.

Для каждой дуги {%}с: с ФоеЛ15 пусть (ф) = 1п! {ее/. Фе€УИ5}. Будем считать, что 6(ф)<1. Если дуги {ф}, {ф}е. то будем говорить, что {h, { g})-сопряженность между ними, если А:[О, 1]-[О, 1] -гомеоморфизм, такой что А (6 (ф)) = 6(ф), f :УИ-А1-гомеоморфизм, сопрягающий Фе и ф для всех е в некоторой окрестности [О, 6(Ф)], и непрерывно зависит

от е. Если гомеоморфизм Не сопрягает ф и Ф лишь для е<6(Ф) и не обязан быть непрерывным по е, то говорят, что (А, {Не}) - левая сопряженность для {Фе}, {ф}. Сопряженность и

левая сопряженность определяют отношения эквивалентности в множестве дуг в , начинающихся с диффеоморфизмов Морса-Смейла. Дуга {фе}б называется устойчивой или лево-устойчивой, если она внутренняя точка соответствующего класса эквивалентности.

Обозначим через у(ф) векторное поле, порождающее поток, являющийся надстройкой над диффеоморфизмом ф. Обозначим через R множество дуг {фе} в пространстве диффеоморфизмов, таких что у(фь)бЛ1, у(фе) трансверсально пересекает Bi в точке (фб); (фь) удовлетворяет условиям типичности, главное из которых состоит в следующем. Неблуждающее множество у(фь) состоит из конечного множества циклов, причем если один из них не гиперболический, то его устойчивые и неустойчивые множества и многообразия трансверсально пересекаются между собой и с многообразиями других циклов, а если все циклы гиперболичны, то их многообразия трансверсально пересекаются по всем траекториям, за исключением одной.

В [180] наложены еще некоторые технические условия на локальное поведение траекторий в окрестностях гиперболических точек, не нарушающие общности положения, но сужающие рассматриваемый класс дуг. Здесь мы их не формулируем, но предполагаем выполненными.

Теорема 1. 1) Дуга {фг}б/? левоустойчива тогда и только тогда,, когда у(фь) имеет негиперболический предельный цикл.