2) Дуга {фе} устойчива тогда и только тогда, когда: а) {фе} - левоустойчива, Ь) f (фь) не имеет цикла с парой невещественных мультипликаторов, с) если у(фь) имеет цикл с мультипликатором 1, то этот цикл некритический, не входит в состав контура и не имеет гомоклинических траекторий.

Теорема 2. Пусть {фе}, е6[0, 1], - дуга диффеоморфизмов такая, что предельное множество каждого диффеоморфизма фе состоит лишь ИЗ консчного множсства траекторий. Тогда {фе} устойчива в том и только том случае, если на [О, 1] существует лишь конечное множество бифуркационных значений, скажем, bi,..., и для каждого ге{1,..., k} справедливы следующие утверждения:

а) У(Ф*.)6В, и не имеет цикла с парой невещественных мультипликаторов; Ь) v {%) трансверсально пересекает Bi в точке У(Фг,Д; с) если vib) имеет цикл с мультипликатором 1, то этот цикл некритический, не входит в состав контура и не и.меет гомоциклических траекторий.

Такие ограничительные условия устойчивости связаны с существованием числовы.х инвариантов топологической эквивалентности - модулей, возникающих при нетрансверсальном пересечении устойчивых и неустойчивых многообразий (см. ниже § 6).

4.11. Некоторые открытые вопросы. Перечислим некоторые задачи о бифуркациях коразмерности 1 векторных полей Морса-Смейла, связанных с нарушением гиперболичности циклов.

1. Исследовать бифуркации векторных полей, имеющих контур, в состав которого входит лишь цикл с мультипликатором 1 и седло либо с вещественным устойчивым ведущим направлением, либо с комплексным, но с отрицательной седловой величиной (случай В п. 4.7).

2. Дать возможно полное описание бифуркаций векторных полей, имеющих критический цикл, узловой по гиперболическим переменным с мультипликатором 1 и компактным множеством гомоклинических траекторий. Для одномерного аналога этой задачи некоторые результаты имеются в [1801, где используется язык нидинг-последовательностей и множеств вращения.

3. Исследовать бифуркации векторных полей, имеющих критический цикл с мультипликатором 1, седловой по гиперболическим переменным, хотя бы в случае компактного множества гомоклинических траекторий.

Замечание. Все бифуркации в § 4 глобальны - мы заранее не знаем конечного множества траекторий, в окрестности которого осуществляются бифуркационные явления.

§ 5. Гиперболические особые точки с гомоклинической траекторией

В этом параграфе описаны бифуркации при переходе через гиперповерхность в функциональном пространстве, состоящую из векторных полей с гиперболической особой точкой, имеющей гомоклиническую траекторию. Исследуется окрестность точек общего положения на этой гиперповерхности как принадлежащих, так и не принадлежащих границе множества систем Морса-Смейла.

5.1. Предварительные понятия: ведущие направления и седловые величины. Рассмотрим росток v{x) = Ax-{-... гладкого векторного поля в гиперболической особой точке О типа седло, dimlFo = s>0, dimlFg = ?i>0.

Расположим собственные значения {Xj, р;} оператора А так, что

Re;»:,< ... <ReA,,<0<Repi< ... <Rep„.

Сумма cT=ReXi--Repi называется седловой величиной ростка (и соответствующей особой точки О).

Если Rei= . .. =ReXfc>ReA,R+i, то инвариантное подпространство оператора А, соответствующее собственным значениям Ki, ..., Kk, называется ведущим устойчивым направлением ростка в особой точке; аналогично определяется ведущее неустойчивое направление. Название объясняется тем, что почти все фазовые кривые уравнения x = v(x) с началом на устойчивом многообразии особой точки О входят в особую точку, касаясь ведущего устойчивого направления; исключение составляют кривые, заполняющие подмногообразие меньшей размерности, чем Wo. Для линейного уравнения это очевидно, для нелинейного доказано в i[186].

5.2. Бифуркации гомоклинических траекторий седла, происходящие на границе множества систем Морса-Смейла. В однопараметрических семействах общего положения встречаются векторные поля с гомоклинической траекторией гиперболического седла, не устранимые малым шевелением семейства. Будем, считать, что в однопараметрических семействах такие поля соответствуют нулевому значению параметра (называемому также критическим значением).

Теорема ([109], [112]). Пусть в однопараметрическом семействе общего положения нулевому значению параметра соответствует дифференциальное уравнение с гомоклинической траекторией гиперболического седла, удовлетворяющее одному из следующих условий:

1. Седловая величина отрицательна и ведущее неустойчивое направление одномерно.

2. Седловая величина положительна и ведущее устойчивое-направление одномерно.

Тогда все некритические векторные поля семейства, достаточно близкие к критическому, в некоторой окрестности гомоклинической траектории задают системы Морса-Смейла не более чем с двумя неблуждающими траекториями, одна из которых - особая точка поля. Векторные поля семейства, соответствующие значениям параметра по одну сторону от нуля, не имеют других неблуждающих траекторий; соответствующие значениям параметра по другую сторону от нуля имеют предельный цикл. Размерность устойчивого многообразия этого цикла на единицу превышает размерность устойчивого многообразия седла или совпадает с ней, в зависимости от того, отрицательна или положительна седловая величина а. А

Замечания. 1. Утверждение теоремы для а>0 получается из утверждения для сг<0 обращением времени.

2. В случае общего положения ведущее направление либо одномерно (тогда ему соответствует вещественное собственное значение), либо двумерно (и тогда ему соответствует пара комплексно сопряженных собственных значений). Будем говорить, что в первом случае ведущее направление вещественно, а во втором - комплексно.

Из теоремы вытекает, что при выполнении ее условий бифуркационная поверхность Bi достижима в точке общего положения с обеих сторон.

5.3. Требования общности положения. Чтобы для однопараметрического семейства векторных полей выполнялось утверждение предыдущей теоремы, это семейство должно удовлетворять следующим требованиям общности положения. Первые три требования налагаются на векторное поле, соответствующее критическому значению параметра.

1°. Ведущее направление, устойчивое в первом случае (а<0) и неустойчивое во втором (а>0) либо вещественно и одномерно, либо комплексно и двумерно.

2°. Гомоклиническая траектория входит в особую точку при t--\-oo и t-~-oo, касаясь ведущих направлений.

Чтобы сформулировать третье требование, понадобятся некоторые сведения об уравнении в вариациях вдоль гомоклинической траектории седла. Пусть

x = v(x), (0) = 0, v{0) = A

- уравнение, соответствующее критическому значению параметра, <р(0-гомоклиническая траектория седла О; ф(0)=х, X - операторнозначное решение уравнения в вариациях по начальному условию:

X = {vo{t))X{t); Х(0)=Е.

Предложение. Для каждого ненулевого вектора PTR" существуют пределы