Главная Промышленная автоматика.
t<0 >0 Рис. 46 л.. Отображение соответствия для гиперболического седла, б. Образ м прообраз отображения последования, соответствующего гомоклинической траектории седла Для главных семейств существование циклов полей (или, что то же, неподвижных точек отображений последования) исследуется элементарно, поскольку отображения Де сохраняют !5-координату лишь при у=0, следовательно, достаточно изучить одномерные отображения Дег,=о. Графики этих отображений и их неподвижные точки показаны на рис. 47. 5.5. Версальность главных семейств. Теорема. Росток однопараметрического семейства общего положения векторных полей {v} на гомоклинической траектории гиперболического седла в с вещественными одномерны- ми ведущими направлениями в седле (может быть, после обращения времени) топологически эквивалентен ростку одного из главных семейств У"*""*",..., V на гомоклинической траектории поля Vo**, . . ., Vo . Главные семейства векторных полей в R" с гиперболическим седлом, у которого ведущее устойчивое и неустойчивое направления одномерны (и, следовательно, вещественны) и при е=0 имеется гомоклиническая траектория, получаются из опи- £<0 Е>0 / <0 Л£>0 £ = 0 Рис. 47. Графики факторизованных преобразований монодромни в главных семействах санных выше (при п=3) надстройкой седла и исследуются аналогично: для произвольного п верен аналог предыдущей теоремы. 5.6. Седло с комплексным ведущим направлением в RK Все семейства, описанные в теореме пункта 5.2, имеют одинаковые неблуждающие траектории. Однако топологической эквивалентности семейств в случае комплексного ведущего направления препятствует наличие числового модуля. Опишем его для систем в R. Теорема (В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, 1985 г.). Пусть гладкое векторное поле в R имеет гомоклиническую траекторию гиперболического седла с собственными значениями а+ф, К, а-Я<0. Тогда отношение а/К является топологическим инвариантом. М 1°. Заменой времени добиваемся равенства Я, = 1; докажем, что а - топологический инвариант. Рассмотрим преобразование монодромни Д гомоклинической траектории седла Для этого выберем произвольную точку Р&у (Qy) достаточно близко к седлу на его устойчивом двумерном многообразии W (неустойчивом одномерном многообразии W"). Требования близости формулируются ниже. Многообразие W делит окрестность седла на две части. Jy часть, в которую траектория у входит при t--оо, обозначим Возьмем две трансверсальные гладкие двумерные площадки ГЭР и TBQ (рис. 48а). Обозначим через Г+ пересечение U+OT. Если площадка Г+. достаточно мала, то определено отображение соответствия д1: Г-Г; точка Р6Г+ переходит в конец дуги фазовой кривой рассматри- ваемого поля с началом Р и концом на Г, расположенной целиком в U+ (рис. 48а). Пусть / : (Г, Q)->-(r, Р) - росток преобразования монодромии (отображения последования), соответствующего дуге гомоклинической траектории у с началом Q и концом Р. Очевидно, f - росток диффеоморфизма. Росток преобразования монодромии А: (Г+, Р)-у{Г, Р) равен произведению ростков f о Аь Можно считать, что представитель ростка Al (обозначаемый тем же символом) определен на площадке Г"*", и его образ принадлежит площадке ГэГ. 2°. Воспользуемся следующей теоремой Белицкого [39]. Пусть гладкое векторное поле имеет гиперболическое седло с собственными значениями Хь ..., и пусть не выполнено ни одно из соотношений Re?u, = ReXj4-Rea- Тогда росток поля в седле С-эквивалентен своей линейной части. Рассматриваемое поле удовлетворяет условию теоремы Белицкого, поскольку вещественные части собственных значений седла равны а, а, 1; а<0. Следовательно, существует С-глад-кая карта {х, у, г) в некоторой окрестности О седла, линеаризующая наше поле. В этой карте W задается уравнением z=0, а W" - уравнениями х=у=0. Пусть PW, Q&U (требование близости точек Р и Q к седлу). Растяжением осей добиваемся- равенств х(Р) = 1. {X, у, 2)(Q) = (0. О, 1). Пусть площадки Г и Г лежат в плоскостях Л: х = 1 и ПгГ 2=1 соответственно, с картами (у, z)\ui и (л + /у)п,. В этих координатах A,(l-f/y, z) = {z-i-+f).{l-riy), 1). (1) Действительно, время перехода точки (1, у, z) на площадку Пг pflBHO In i, а преобразование фазового потока линейной системы {х + 1уУ = {а+Щ{х->г1у). zz имеет вид g*{x. у, 2:) = (е("+Р)(л-]-гу), ez). Образ Ai(r+) площадки Г* на площадке Г -это «толстая» спираль с центром 0; образ А (Г) -аналогичная, диффеоморфно преобразсванная «спираль» с центром Р на Г* (рис. 48а). Пересечение Г*ПА(Г) распадается на счетное число компонент - «полувитков», занумерованных в порядке их расположения вдоль спирали. Пусть П„ - криволинейный четырехугольник - прообраз к-й связной компоненты пересечения Г+ПА(Г*), (Г = У*ПГ). Случай 1. a-f-A<0. Рассмотрим отображение к натурального ряда в себя, заданное формулой (см. рис. 486): A(/i)=min{fein,nAn„:0}. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [41] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 0.0018 |