ной секущей) является предельным для векторных полей с циклами с мультипликатором 4-1. Точно так же множество векторных полей с данным иррациональным числом вращения является предельным для бифуркационных поверхностей, отвечающих циклам с мультипликатором единица. Как вытекает из [18], для почти всех (по мере Лебега) чисел вращения это множество является гладким подмногообразием банахова пространства. В общем случае вопрос открыт.

Для общего двухпараметрического семейства векторных полей, в котором происходит рождение двумерного тора из цикла с мультипликатором е=* Ц1фО, я, 2я/3, л/2, можно показать, что бифуркационная кривая, отвечающая в этом семействе векторным полям с некоторым фиксированным иррациональным числом вращения, будет гомеоморфным и, как вытекает из [18] для почти всех чисел вращения, диффеоморфным образом отрезка. Может ли теряться гладкость этой кривой для некоторых (иррациональных) чисел вращения, неизвестно.

7.2. Бифуркации систем с двумя гомоклиническими кривыми седла. Для простоты опишем потоки в (аналогичные результаты верны для потоков в R", имеющих сёдла с одномерным неустойчивым многообразием).

Пусть 1)-векторное поле, имеющее седло в начале координат О. Пусть Xi, 2, Хз-корни характеристического уравнения в точке О, причем Яз>0, а A,2<Xi<0. В этом случае размерность неустойчивого (устойчивого) многообразия равна 1 (2). В устойчивом многообразии существует одномерное неведущее подмногообразие Wcf, касающееся в точке О собственного направления, отвечающего собственному значению Яг- Wo делит Wo на две части. Предположим, чтоWocWq, причем Wo\0 лежит в одной компоненте Wo\Wo (как говорят, имеет место случай «бабочки», а не «восьмерки»). Предположим также, что цикл, который может рождаться из каждой гомоклинической кривой, имеет положительные мультипликаторы (см. § 5). Наконец, предположим, что седловая величина (y=Xi+Xs отрицательна (см. рис. 55).

Очевидно, векторное поле v может лежать на границе множества систем Морса-Смейла (в замкнутом шаре большого радиуса в R).

Теорема. В сколь угодно малой окрестности векторного поля V (в пространстве С-гладких векторных полей на R) существуют векторные поля, обладающие нетривиальными (т. е. отличными от особых точек и предельных циклов) устойчивыми по Пуассону траекториями.

Зафиксируем окрестность точки v и обозначим через множество векторных полей, лежащих в ней и обладающих бесконечным неблуждающим множеством (нетривиальными устойчивыми по Пуассону траекториями).

Теорема. Если v лежит на границе множества систем Морса-Смейла, то для достаточно малой окрестности v множество также принадлежит границе множества систем Мор-

Рис. 55. Векторное поле с двумя го- Рис. 56. Бифуркационная диаграмма, моклиническичн траекториями седла двупараметрического семейства век-типа «бабочка» торных полей, имеющая континуальное множество бифуркационных кривых

•са-Смейла и лежит в замыкании множества бифуркационных поверхностей, отвечающих гомоклиническим кривым седла. Для типичного, двупараметрического семейства, проходящего через V, бифуркационное множество локально гомеоморфно (всюду, кроме конечного множества кривых) прямому произведению канторова множества на отрезок; при этом граничной точке канторова множества отвечают системы с гомоклинической кривой седла, а внутренней точке" - системы с нетривиальными устойчивыми по Пуассону траекториями (см. рис. 56).

Являются ли гладкими бифуркационные поверхности, отвечающие системам с нетривиальными устойчивыми по Пуассону траекториями, или хотя бы соответствующие бифуркационные кривые в общих двупараметрических семействах - неизвестно.

Заметим, что бифуркационные «поверхности», отвечающие наличию бесконечного множества неблуждающих траекторий, недостижимы во всех точках, кроме v.

В пункте 7.2 приведены результаты Д. В. Тураева и Л. П. Шильникова (1985 г.).

7.3. Системы с аттракторами Фейгенбаума. Известно, что бесконечная последовательность бифуркаций удвоения периода

Граничные точки канторова множества -лов, остальные точки - внутренние.

- это концы смежных иитерва-

периодических точек (как говорят, сценарий Фейгенбаума) может приводить к возникновению нетривиальных устойчивых по Пуассону траекторий (см. об этом § 6, гл. 2). При этом для семейств гладких отображений отрезка этот сценарий является структурно устойчивым. Можно доказать, что если семейства гладких отображений «типа параболы» претерпевает бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода, приводящую к возникновению множества нетривиальных устойчивых по Пуассону траекторий (или аттрактора Фейгенбаума), то же справедливо для любого С-малого возмущения этого семейства. Кроме того, вплоть до момента возникновения аттрактора Фейгенбаума неблуждающее множество конечно: эндоморфизмы отрезка с аттракторами Фейгенбаума лежат на границе множества «эндоморфизмов Морса-Смейла».

Справедливо ли это хотя бы для диффеоморфизмов диска, - неизвестно. Возможно, что еще до того, как произойдет бесконечное множество бифуркаций удвоения периода, уже возникает бесконечное неблуждающее множество за счет касания многообразий седловых точек.

7.4. Рождение неблуждающих множеств. В этом и следующих трех пунктах обсуждается возможность рождения инвариантных многомерных торов «из сгущения траекторий».

Теорема. В пространстве гладких векторных полей на области евклидова пространства R" (и на любом п-мерном многообразии) для любого т<п-1 существует множество 21, открытое в С-топологии, поля которого имеют инвариантный, т-мерный тор, а граница St имеет непустое пересечение с границей множества систем Морса-Смейла. Более того, существует гладкое (чрезвычайно вырожденное) однопараметрическое семейство d (от degenerated), поля которого при докритических значениях параметра задают системы Морса-Смейла, а при закритических - принадлежат Ш.

Следствие. Рассмотрим произвольную деформацию семейства d, то есть двупараметрическое семейство v уравнений с параметрами в, [i, которое при р,=0 совпадает с d. Тогда малому ненулевому значению параметра р, соответствует однопа-раметричесое семейство (с параметром е) и значения E~([i) и Е+(р,) такие, что: при E<E~([i) все уравнения семейства задают системы Морса-Смейла; при 8>Е"(р) все уравнения семейства w,, имеют инвариантный тор; Е*(р,)Опри р-0 (рис. 57).

Замечание. Явления, происходящие на интервале (Е~(р,), Е"(р,)), при т>2 совершенно не исследованы; при т = 2 значительная информация содержится в работах Шансине (п. 2.3,. гл. 2). Однако и в этом случае, насколько нам известно, не получен ответ на следующий вопрос: что происходит в типичном семействе при первой бифуркации, выводящей из множества систем Морса-Смейла?