(л", е){С [х--а sin е), (е + г + Л"-г« sin е) mod2я) кольца 0<л"<.о. где г>1, а>0, л-о>д ° г, моделирует отображение последования в окрестности «разрушающегося» тора. Легко проверить, что для любого k&Z на плоскости параметров (л а) кривая 5+:а=±(2л-г) (I-е") является бифуркационной кривой, отвечающей наличию циклов (неподвижных точек) с мультипликатором -f-1, а кривая В~: a={2nk-г){1- e-rj2 4(l g-rj2 - (, мультипликатором (-1). Можно показать также, что существуют две бифуркационные кривые Вьг, отвеча-. ющие касанию неустойчивого многообразия седловой неподвижной точки и ее устойчивого многообразия «с разных сторон». Бифуркационная картина приведена на рис. 60 Кризисы.

1. Потеря устойчивости предельным циклом на торе, происходящая жестким образом: при в-е* к устойчивому циклу, лежащему на торе, «подтягивается» седловой цикл удвоенного-периода, либо неустойчивый тор, лежащий на границе области притяжения Те при €<е* и при 8=8* передает свою неустойчивость этому предельному циклу.

2. Бифуркация устойчивого цикла на торе, при которой седловой цикл, лежащий в границе области притяжения тора, подтягивается к устойчивому циклу, сливается с ним и исчезает. Мультипликатор в этот момент становится равным (+1).

3. Бифуркация седлового цикла на торе, при которой, устойчивые при докритических значениях параметра циклы на торе не теряют свою устойчивость. При е-8* к седловому циклу подтягивается либо другой цикл, либо тор и сливается с ним при 8=8*. (Мультипликатор в этот момент может стать равным и (+1),и (-1),иеТ)

4. Касание неустойчивого многообразия цикла на торе и устойчивого многообразия коразмерности 1 положения равновесия или цикла, лежащего в границе области притяжения Те

при 8<8*.

Все четыре случая могут, очевидно, неустранимым образом реализовываться в однопараметрических семействах динамических систем. Приведем пример на случай 3.

Пример 1. Следующее отображение можно трактовать как отображение юследования в окрестности тора (тору при этом отвечает инвариантная кривая)

{х, е)(бл + л;2с cos е, (e-i-asine)(mod2n)),

рде а > О, й >О, с > 0. Нетрудно проверить, что при с <

отображение имеет инвариантную замкнутую кривую, на которой лежат неподвижные точки

о), (i--VpFTjF

2зГк

Рис. 60. Бифуркационная диаграмма двупараметрического семейства диффеоморфизмов кольца. Разным ее частям соответствуют различные механизмы потери гладкости и разрушения замкнутой инвариантной кривой, также

показанные иа рисунке

е=тс

Рис. 61. Кризис замкнутой инвариантной кривой (нижняя кривая на левом и среднем рисунках); случай 3. Точками отмечена область притяжения аттрактора

причем Ml-седло, а уИг-устойчивый узел. В границу области притяжения этой кривой входят неподвижные точки

(l-b + V (1-6)=-4с

. О , Р2 =

причем Pl - неустойчивый узел, а Рг-седло. При с=--

точки Pl и Ml сливаются и при с> исчезают. Исчезает и замкнутая инвариантная кривая (см. рис. 61).

Можно показать, что С-возмущение данного семейства отображений (в котором параметры а и b фиксированы, а с-меняется) претерпевает подобную бифуркацию, т. е. семейство

структурно устойчиво в окрестнссти точки с= в пространстве параметров и в некотором кольце в фазовом пространстве.

Пример 2. Аналогичный пример на случай 2 задает отображение

(л:, e)-(6A" + A;2-fcsine. (e + acose)(mod2n)), а>0, fc>0, с>0.

Легко показать, что при с< существует инвариантная кри-

вая (являющаяся замыканием неустойчивого многообразия непод-

(\-Ь-У (I -6)2 + 4с Зл\ рижнсй точки I-5--i Z , 2") на которой лежит

устойчивая неподвижная точка Р = \--- 2"/

:1П[ри с к Р подтягивается седловая точка Q =

----. 2) при с-

они сливаются, и

при с >

исчезают (см. рис. 62).

6-2 2