Интегральные кривые, которые мы изучаем, лежат, таким образом, на поверхности у=х трехмерного пространства с координатами {х, у, z) и проектируются вдоль оси х на плоскость

(г/. 2).

Теорема. (В. И. Арнольд, 1984). В окрестности точки складки проектирования медленной поверхности системы общего положения с двумя медленными и одной быстрой переменной семейство интегральных кривых уравнения медленных движений расслоенным диффеоморфизмом медленной поверхности приводится к одной из следующих нормальных форм:

z = .-\-c (общая точка складки), (4)

z = xz-\-x-\-c (точка выроадения контактной структуры), (5) xdx={2x-\-az)dz (особые точки поля направлений), (6)

где медленная поверхность имеет уравнение у=х.

Особые точки последнего типа могут быть на медленной поверхности фокусами (а<-1), узлами (-1<а<0) или седлами (0<а).

Проекции интегральных кривых с медленной поверхности на плоскость медленных переменных (у, z) в первом случае имеют полукубические особенности y={z-с) (рис. 66)

В случае вырождения контактной структуры проекции ин-

Рис. 66. Фазовые кривые медленного уравнения в окрестности типичной точки складки медленной поверхности: нормальная форма

тегральных кривых изображены на рис. 67. Эти проекции можно описать так. Рассмотрим поверхность «сложенного зонтика Уитни» u=vw в трехмерном пространстве. Спроектируем линии уровня функции U + V + W на этой поверхности на плоскость V, W. Получится нужное семейство линий на плоскости.

Проекции интегральных кривых в окрестности фокуса, узла и седла на плоскость медленных переменных изображены на рис. 68. Это - сложенные особенности, нормальные формы ко-

Рис. 67. Фазовые кривые медленного уравнения в окрестноств точки вырождения контактной структуры. Множество точек касания интегральных кривых с их отражениями изображается двойной линией

торых найдены А. А. Давыдовым (1984, см. [26], [24]). Их можно задать уравнением, неразрешенным относительно производной, вида

В окрестности точки сборки проекции описываются так. Рассмотрим поверхность ласточкиного хвоста \ -{-хХ-\--f Яглг-Ыз имеет кратный корень}. Плоскости Xi = const разбивают ласточкин хвост на кривые. Проекции интегральных кривых в окрестности точки сборки проектирования медленной поверхности систейы общего положения получаются из этого стандартного семейства плоских сечений ласточкиного хвоста при гладком отображении общего положения трехмерного пространства на плоскость. Такое отображение имеет в вершине ласточкиного хвоста ранг 2. Следовательно, окрестность вершины гладко расслоена на одномерные слои (прообразы точек плоскости). Направление слоя в вершине трансверсально и плоскости Xi = 0, и касательной плоскости хвоста (1з = 0) для отображения общего положения. В зависимости от того, как это направление пересекает эти две плоскости, вид проекции

Рис. 68. Типичные особые точки медленного уравнения на складке медленной поверхности

явно меняется (рис. 69). Впрочем, проекции семейств интегральных кривых имеют (менее заметные) топологические функциональные модули, если учитывать проекции интегральных кривых со всех трех ветвей медленной поверхности. Если же учесть только ветви, отвечающие устойчивости равновесия в быстрой системе, то топологически различных картин общего положения всего три (рис. 70) (первые две соответствуют устойчивости равновесия на крайних ветвях, третья - на средней ветви медленной поверхности.)

Топологическая классификация особенностей медленных движений в системах общего положения с двумя медленными и одной быстрой переменными, учитывающая только устойчивые положения равновесия быстрого движения, дана Такенсом [204].

2.6. Связь с теорией уравнений, не разрешенных относительно производной. Рассмотрим точку, где наше поле плоскостей невырождено (задает контактную структуру)". Слои нашего расслоения касаются плоскостей поля. Значит, расслоение ле-жандрово (состоит из интегральных многообразий максимальной размерности). Все лежандровы расслоения в контактном пространстве фиксированной размерности локально контактно-морфны (переводятся друг в друга вместе с контактной структурой диффеоморфизмом в окрестности каждой точки пространства расслоения). Следовательно, наше трехмерное пространство быстрых и медленных переменных с введенной контактной структурой расслоенным (над плоскостью медленных переменных) локальным диффеоморфизмом переводится в трехмерное пространство 1-струй функций одного переменного, расслоенного над пространством 0-струй, с его естественной контактной структурой.

О контактных структурах и лежандровых расслоениях см. подробнее статью В. И. Арнольда и А. Б. Гивенталя в roUe 4 настоящего издания. Остальная часть § 2 может читаться независимо от этой статьи.