Рис. 69. Проекции фазовых кривых медленного уравнения вблизи точки Сборки на плоскость медленных переменных

Рис. 70. Проекции фазовых кривых с устойчивых ветвей медленной поверхности вблизи точки сборки на плоскость медленных переменных

В координатах 1-струя определяется значением независимой неременной, которую мы обозначим через г, зависимой (обозначим ее if) и производной dy/dz (обозначаемой р). Контактная структура пространства 1-струй в координатах записывается в виде dy=pdz, проекция на 0-струи - забывание р: iz,y, р) (2, у).

Поверхность медленных движений и ее проектирование на плоскость медленных переменных вдоль оси быстрых переменных при указанном отображении в пространство 1-струй перейдет в поверхность, заданную неявным дифференциальным уравнением

F(z, у, р) = 0, p=dy/dz, и ее проектирование в пространство 0-струй вдоль оси р. Интегральные кривые нашего поля на медленной поверхности превращаются в интегральные кривые неявного уравнения.

Поэтому сформулированная выше теорема для всех случаев, кроме случая вырождения контактной структуры, вытекает из соответствующих результатов теории неявных уравнений. При этом нормализующий диффеоморфизм приводит к нормальной форме не только интегральные кривые следов поля контакт-

ных плоскостей на поверхности, но и все поле контактных плоскостей. В терминах теории релаксационных колебаний это означает, что проекция направления возмущающего поля на плоскость медленных переменных приводится расслоенным диффеоморфизмом к стандартному виду не только на медленной поверхности, но и во всей окрестности изучаемой точки в трехмерном пространстве.

2.7. Вырождение контактной структуры. В этом случае можно рассуждать так. Складывание определяет инволюцию медленной поверхности, переставляющую обе точки одного слоя. В окрестности точки складки медленная поверхность приводится к нормальной форме ух расслоенным диффеоморфизмом {у-медленная, х - быстрая переменная). Будем пользоваться на медленной поверхности локальными координатами {х, г), где z - вторая медленная переменная. Тогда указанная выше инволюция запишется в виде \х, z)-*(-х, г).

Интегральные кривые на медленной поверхности образуют в окрестности изучаемой точки гладкое семейство, и их можно задать как семейство линий уровня некоторой функции. Фи, 2)= const. Линии эти в точках складки касаются ядра складывания, т. е. направления оси х. Значит, функцию Ф можно, не меняя ни медленной поверхности, ни семейства линий уровня, привести к виду z+xA{x, z).

Заменяя медленную переменную г на функцию От z и у=х, мы осуществляем не меняющий медленной поверхности расслоенный диффеоморфизм {у-медленная переменная). Таким перевыбором z мы можем уничтожить в А всю четную по х часть. Мы привели Ф к виду z+xB{x, г).

Рассмотрим теперь, наряду с семейством линий Ф = const, его образ при инволюции, меняющей знак х. В точках складки (л;=0) линии обоих семейств касаются друг друга, причем порядок касания четен (как касания прямой и параболы нечетной степени). Если в изучаемой точке ВфО, то порядок касания второй.

Легко проверить, что именно в этом состоит условие невырожденности (контактности) поля плоскостей, следы которого на медленной поверхности определяют наши интегральные кривые.

В точке вырождения Б (О, z) обращается в нуль. Для системы общего положения порядок нуля первый, а порядок касания интегральной кривой со своим отображением подскакивает со второго до четвертого. Это позволяет привести уравнение интегральных кривых к виду z+x?zC{x, z)-Ьл:5/)(х) = const, С(0, 0)0,/)(0)=70.

Нечетной заменой х == х\С {х, z) и растяжениями мы можеМ привести уравнение к виду

z-\-xz-\-x-1-хЕ (л;2, Z) = с.

Наконец, слагаемое с Е можно полностью уничтожить, комбинируя С"-диффеоморфизм плоскости {х, г), коммутирующий с меняющей знак х инволюцией, с С" - изменением нумерации кривых (параметра с).

Для этого нужно сначала рассмотреть линию, где интеграль-. ные кривые касаются своих образов при инволюции. Эта линия (симметричная относительно оси х=0), кроме оси х=--0, содержит кривую, похожую на параболу: 2= - Jc-f... (рис. 67).

На этой кривой имеются две инволюции: одна представляет х и -X, другая - две точки на одной интегральной кривой. Различие между обеими инволюциями порядка х*.

Такая пара инволюций (единым) локальным С°°-диффеоморфизмом кривой приводится к нормальной форме (например: одна к XI-* ~х, другая к х-х, где x-j-x==x" +х , Дюфур [140]). В аналитическом случае такая пара инволюций, несмотря на простую формальную нормальную форму, имеет функциональные модули (С. М. Воронин [56]).

Выберем координату х на кривой касания так, чтобы нормализовать обе инволюции. Будем нумеровать этой координатой и касающуюся в этой точке своего образа при инволюции интегральную кривую. Полученная нумерация позволяет сопоставить друг другу интегральные кривые семейств с ЕфО и с Е = =0 (те, которые касаются отраженных).

Точке пересечения интегральной кривой семейства с ЕфО с номером Xi и отраженной кривой с номером Х2 сопоставим (топологически аналогичную) точку пересечения кривых с такими же номерами для стандартного семейства (£=0). Полученное соответствие продолжается до диффеоморфизма, коммутирующего с инволюцией и отображающего семейство линий с ЕфО на стандартное семейство.

Спроектируем стандартное семейство линий

г+хг-\-х=с

на плоскость медленных переменных {у, z). Семейство проекций задается уравнением

{г-сУ=у{г+уУ, ибо у=хК

Поднимем каждую проекцию на свой уровень с. Получаем поверхность в трехмерном пространстве с координатами {у, г, с).

В этом пространстве выбираем новые координаты z-с=и, y = v, z-\-y=-w. Уравнение поверхности теперь u-vw.

Если зафиксировать значение с=со, то на полученной плоской кривой u + v + w-Со. Отсюда у=Ц, z=u+Co=-и-w. Поэтому семейство проекций интегральных кривых на плоскость медленных переменных (у, г) локально диффеоморфно семейству проекций плоских сечений u-\-v-\-w=const сложенного зонтика u = vw на плоскость {v, w) вдоль оси w.