Таблица 1

плоскостей, порожденного полем реперов д\дх, Gidfy+ + G2d/dz\y , совпадает с одной из нормальных форм, соответствующих семействам (4), (5) или уравнению (6).

4 Можно считать, что при е = 0 поверхность =0 и поле направлений на ней уже нормализованы. Семейство поверхностей, получаемое деформацией поверхности у-х в пространстве (х, у, г), расслоенным диффеоморфизмом, гладко зависящим от параметра деформации, переводится вблизи нуля в постоянное семейство у=х. Это позволяет нормализовать поверхность F=0 при малых е. Поля направлений, описанные в теореме, получаются малым возмущением одного из стандартных. Требования типичности, налагаемые на поля направлений при доказательстве теоремы п. 2.5, выделяют открытое множество в соответствующем функциональном пространстве. Поэтому все поля, близкие к нормализованным полям, задаваемым .формулами (4), (5), (6), приводятся к нормальным формам того же вида; нормальная форма (6) содержит параметр а, зависящий от нормализуемого поля. Диффеоморфизмы, нормализующие поля, получаемые гладкой деформацией нормализованных полей, можно выбрать гладко зависящими от параметра деформации; это легко вывести из рассуждений п.п. 2.5- 2.7. ►

Следствие. Типичная быстро-медленная система с двумя медленными переменными и одним быстрым вблизи любой точки на складке медленной поверхности гладко зависящим от £ расслоенным диффеоморфизмом может быть превращена в одну из следующих систем.

1. Вблизи типичной точки складки (где не вырождается контактная структура и нет особой точки медленной системы)

Л(0)=-Ог(0) = 1;

здесь и ниже А и В-гладкие функции от х, у, z, е. 2. Вблизи точки вырождения контактной структуры

х = {х-у) А, y=eGi, z = e

бх + 9- kXZ

1-L G, + i-y)B

J (8)

ГЛ(0)=-Gi(0) = l, б=±1. 3. Вблизи особой точки на складке медленной поверхности х(х~у)А, t/=8[(2x + a(e)2)G2+(x2-i/)51, 2 = eG2, A(0) = G2(0)=1.

Более того, сохраняющими параметр и медленные переменные гладкими заменами в уравнениях (7), (8), (9) можно добиться равенства А = \ + С{у, г, г)х.А.

Л Поверхность F=0 имеет вид у=х. Следовательно вблизи нуля F = (x2-у)А, Л-гладкая функция от x,y,z,&. Поле направлений на медленной поверхности, описанное в теореме, совпадает с полем нулей формы Gidz-G2dy\y=x- С другой стороны, можно считать, что это поле направлений имеет одну из нормальных форм (4), (5) или (6). Следовательно, оно совпадает в случаях 1 (соответственно, 2 или 3) с полем нулей формы «1 (соответственно, сог или соз), определенной на поверхности у=х (на которой dy=2xdx):

(i)i=dz-3xdx \yx=dz - - xdy

, 5x* + ?>xz . . . Ъх + Ъхг . , CU2 = rf2--dx j,=jf.=dz--2-2x dy\y=x;

«3=2 (2л; -f az) dz-2xdx [yx=2{2x-\- az) dz - dy jy=jc.. Следовательно, в случае 1

G2=a;G,+(a;2-£/)5;

здесь и ниже функция > (своя в каждом из случаев 1, 2, 3) - гладкая по х, у, z, е. Итак, быстро-медленная система имеет вид

х = {х-у)А, y=eGi, zE\lxGi+{x-y)B

Для системы общего положения Л (0) Gi (0) =50. Растяжением осей и заменой времени можно добиться того, что Л(0)== = Gi (0)1 = 1, Меняя, если нужно, ориентацию оси х, добиваемся равенства Л(0) = 1. Поскольку О - точка срыва, фазовые кривые по устойчивой части медленной поверхности (л;<0) выходят на линию складки. Поэтому Gi(0)<0 и, значит, Gi(0)=-1. Растяжением оси z добиваемся, чтобы коэффициент 3/2 в последнем уравнении заменился на 1. Это доказывает следствие в случае 1.

В случае 2 аналогичные рассуждения дают

Растяжением осей координат, времени и параметра (коэффициенты растяжения осей времени и параметра положительны) можно добиться того, что Л(0)=В(0)=-Gi(0) = l и коэффициент при ехз в уравнении для z будет по модулю равен 1. Это доказывает следствие в случае 2. Наконец, в случае 3

G, = 2 (2д;4- а (е) 2) Gz-h (х-у) В.

Дальнейшее доказательство, как в случае 2.

Последнее утверждение следствия вытекает из предыдущих и теоремы п. 5.7, гл. 2. ►

3.4. Вывод систем первого приближения. Здесь доказано предложение 2. Расслоенный диффеоморфизм в предложении 2 - это диффеоморфизм, приводящий систему к одной из нормальных форм (7), (8), (9). Указанные в таблице замены переводят эти системы в следующие

Г = 2-г1+0(р), ri=-\ + 0{ix), S=-5-bO(,a); (70

V = l-r\ + Oiii), ti=-l + 0(H), = (а б)Г-

-aln+0(ii), (8)

где а=-(0);

g = 2 n + 0(p), ri = (2-fa(e)p4-0(1), =±1+0(ц). (9)

Переходя к пределу при р,-0, получаем системы первого приближения из предложения 2.

3.5. Исследование систем первого приближения. Фазовая кривая у системы первого приближения называется приближающей, если она обладает следующим свсйством. Пусть {/Ч- семейство сжатий, обратных растяжениям, с помощью которых из быстро медленной системы получилась система первого приближения. Тогда существует такая окрестнссть нуля, пересечение которой с кривой /д-у при И-О стремится к дуге регулярной фазовой кривой соответствующей вырожденной системы.