Рис. 9. Фазовый портрет векторного поля на плоскости с нильпотентной линейной частью и нелинейностью общего положения

ответствуют системам с вырождениями коразмерности 1, изображенным также на рис. 10 (Р, Q, R, S).

Бифуркации в главном семействе (5~) получаются из описанных изменением знаков t и Хг.

4.3. Редукции к двумерным системам. Бифуркации особых точек с одним нулевым и парой чисто мнимых собственных значений, а также с двумя чисто мнимыми парами достаточно изучать в трехмерном и четырехмерном пространствах соответственно (по теореме сведения). Метод Пуанкаре приводит в этом случае к вспомогательной зцдачё. Семейство уравнений x=v(x, е) превращается в систему

x = v(x, е), 6=0.

Эта система приводится к нормальной форме Пуанкаре- Дюлака формальной заменой, сохраняющей е. Затем отбрасываются члены достаточно высокого порядка по х (выше трех для нуля с мнимой парой и выше пяти для двух мнимых пар). Полученное полиномиальное векторное поле инвариантно относительно группы вращений, изоморфной тору, размерность которого равна числу мнимых пар. Соответствующая факторси-стема, представляет собой семейство уравнений на плоскости, инвариантное относительно некоторой конечной группы движений плоскости. В классе таких семейств изучается версальная деформация факторсистемы, соответствующей ростку v{-, е). Положения равновесия и инвариантные кривые фактор-систем интерпретируются как приближения к инвариантным торам и гиперповерхностям уравнений исходного семейства.

Как указывалось, выше, отбрасывание старших членов в этой процедуре небезопасно. Для систем исходного семейства существование инвариантных торов, соответствующих положениям равновесия вспомогательных факторсистем, выводится из теоремы Крылова-Боголюбова (И. И. Боголюбов, Ю. А. Мит-

Рис. 10. Бифуркации векторных полей с ннльпотентной линейной частью на

плоскостн

ропольский, [26:17]). Однако гладкие торы, соответствующие циклам исходных систем, по-видимому, существуют при значениях параметров, близких к линии рождения циклов, но могут разрушаться раньше, чем исчезнут соответствующие циклы. По этому поводу см. [157] и цитированную там литературу.

4.4. Нулевое и пара чисто мнимых собственных значений (по Жолондеку [72]). Описанная выше процедура превращает деформацию ростка векторного поля с одним нулевым и парой чисто мнимых собственных значений линейной части в особой точке в семейство уравнений, инвариантное относительно группы S2 движений плоскости (х, г), порожденной симметрией (л;, г) (л;, -г). Ростку с нулевым и парой чисто мнимых собственных значений соответствует Хг-эквивариантный росток с нулевой линейной частью на плоскости.

Теорема. В типичных двупараметрических семействах 52-эквивариантных векторных полей на плоскости встречаются

®

®

®

а= 1

©

а=-1

©

©

Рис. 11. Бифуркации Хг-эквивариантньис векторных полей (циклы рождаются)