параметром т происходит мягкая потеря устойчивости с рождением при т=0 устойчивого предельного цикла. Предельное поведение траектории быстрого движения в слое У=у{х) с близким к нулю начальным условием меняется непрерывно с изменением т: при тО фазовые кривые стремятся" к положению равновесия у{х), а при т>0 наматываются на предельный цикл, непрерывно зависящий от т. Иначе ведут себя траектории аналитической быстро-медленной системы с начальным условием, близким к у{х). Фазовая точка такой траектории при малом е срывается с медленной поверхности не при т=0, а позже, когда цикл уже имеет размер порядка 1. Поэтому автоколебательный режим возникает сразу с амплитудой порядка единица, то есть срыв с равновесия происходит жестко.

4.4. Гистерезис. Следующий пример иллюстрирует явление гистерезиса в быстро-медленных системах типа 2. Рассмотрим «треугольную» систему

x=F{x, у, г), у = еО {у, г).

Эта система факторизуется: ее фазовые кривые лежат над фазовыми кривыми медленной системы при любом е>0. Наряду с предыдущей быстро-медленной системой, рассмотрим систему

x-=F{x,y.s), у-=-гО (у, е).

Будем считать, что в обеих системах медленная переменная одна. Пусть у (г)-решение первого медленного уравнения, переходящее при т=0 из устойчивой части медленной кривой в неустойчивую. Существуют такие положительные то и т*, что решение первой системы с начальным условием (xq, у{-То)), близким к у(-То), при малом е сорвется на предельный цикл вблизи точки г/(т*). Этот цикл уже имеет радиус порядка 1. Решение второй системы с начальным условием, близким к этому циклу, будет дрейфовать вдоль циклов быстрых систем, соответствующих параметру у{-т) и выйдет на медленную поверхность вблизи точки у{0). Тем санъш, эволюция фазовой точки второй системы не сводится к эволюции фазовой точки первой с помощью обращения времени, в отличие от эволюции аттракторов соответствующих быстрых систем (наблюдается гистерезис).

4.5. Механизм затягивания. Покажем, как происходит затягивание потери устойчивости. Рассмотрим быстро-медленную систему типа 2 с медленной поверхностью х=0. Уравнение для быстрых переменных имеет вид

хА{у,г)х-{-гк{у,г)-0{\х\2). (10)

Сделаем замену переменных вида

Уравнение для х имеет тот же вид (10), но функция /г имеет порядок е. Следующая такая замена сделает /1=0(6) и т. д. Процедура последовательных замен, вообще говоря, расходится. Оценки показывают, что сделав порядка 1/е таких замен, аналитическую систему можно привести к виду (10), где член h экспоненциально мал: h==0(exp(-с/е)), c=const>0, причем суперпозиция замен отличается от тождественной на 0(e) (аналогичные оценки см. в [89]).

Рассмотрим движение фазовой точки системы (10) с экспоненциально малым h из начального условия (хс, уо). Предположим, что медленная кривая с началом уо выходит на границу устойчивости за медленное время порядка 1. Тогда если х достаточно мало, то фазовая кривая с началом (лго, г/с) выходит на границу устойчивости (точнее, проходит над ней), за быстрое время, порядка 1/е. При этом x{t) сначала быстро убывает, становится экспоненциально малым и остается таким до прохода над границей устойчивости. После этого \x{t)\ может начать быстро возрастать, но чтобы от экспоненциально малого значения дорасти до величины порядка е, требуется быстрое время по меньшей мере порядка 1/е. Следовательно, потеря устойчивости затягивается. Если в какой-то момент времени стало л:()~е, то уже через быстрое время порядка 1пе будет х() I ~1, т. е. происходит срыв.

Если система имеет конечную гладкость, то процедура последовательных замен переменных обрывается после конечного числа шагов, так что удается сделать лишь ft=0(eO- Тогда при проходе над границей устойчивости будет x=0e*). Чтобы дорасти от е+ до е (или от е до 1), после момента потери

устойчивости нужно быстрое время порядка У1пе/е.

4.6. Вычисление момента срыва в аналитических системах.

Рассмотрим быстро-медленную систему типа 2 и фиксируем ее медленную траекторию. Будем рассматривать только такие решения быстро-Медленной системы, начальные условия которых лежат над 0(e) - окрестностью фиксированной траектории. Момент медленного времени т назовем асимптотическим моментом срыва решения, если в его 0(е1пе)-окрестности лежит интервал, на левом конце которого расстояние фазовой точки (х(т), у{х)) от медленной поверхности - порядка в, а на правом-порядка 1. Момент медленного времени назовем асимптотическим моментом падения, если при обращении времени он становится асимптотическим моментом срыва.

В аналитической системе можно выразить асимптотический момент срыва через асимптотический момент падения, или, по меньшей мере, оценить его снизу [116], [90]. Для этого требуются построения, связанные с анализом решений при комплекс-

ных значениях времени. В целях упрощения изложения проведем их в предположении, что быстрая система двумерна. Формулировки для общего случая приведены в [90].

Пусть ть->г/(т), т = е-фиксированное решение медленной системы, г/(то) = г/о- Пусть при некотором т = т его фазовая кривая пересекает границу устойчивости, и при этом пара сопряженных собственных чисел %i{y), К2{у) пересекает мнимую ось трансверсально и с ненулевой скоростью. Введем комплексную

фазу Y(T) = j Xi{y{x))dx. Ограничение функции ReW (т) на

вещественную ось в точке т, очевидно имеет невырожденный минимум. Поэтому на достаточно малом отрезке вещественной оси времени, примыкающем к т. слева, определена функция П, сопоставляющая моменту т<т, момент П(т)>т. такой, что ReW (т) = ReW (П (т)). На плоскости комплексного медленного времени точки т и П(т) соединены дугой L линии уровня ReY(T)= const (рис. 73). Если т<т. достаточно близко к т., то в области К, ограниченной дугой L и симметричной ей относительно вещественной оси дугой L, выполнены следующие условия: 1) медленная траектория аналитична, fug аналитичны в точках медленной траектории, 2) КигфО, 3) К1ФХ2, 4) касательные к линиям КеЧ"(т) = const не вертикальны. Определим т - нижнюю грань значений т<т., для которых в области К выполнены условия 1)-4). Обозначим т+=П(т~).

Рис. 73. Построение момента срыва по моменту падения («функция входа - выхода»)

Теорема ([90]). Рассмотрим быстро-медленную систему типа 2 с фиксированным медленным решением. Пусть т"" и те же, что и выше, Хо(х~, х*) -асимптотический момент падения решения быстро-медленной системы. Тогда П (то) - асимптотический момент срыва этого решения. На интервале медленного времени (то-f се1пе, П(то)-се1пе) быстр о-медленное решение лежит в О (е) - окрестности фиксированного медленного решения.

Если момент падения лежит левее т~, то можно показать, что фазовая точка остается вблизи медленного решения, по