водит на устойчивую ветвь медленной кривой. Пусть е фиксировано, а параметр а меняется, проходя через интервал «уточных» значений. В пределе при е->-0 мы получим эволюцию простых вырожденных уток, показанную на рис. 79, 80.

Рис. 79. Эволюция простых вырожденных уток в точке складки (угки присутствуют на рисунках в, г, д)

Рис. 80. Эволюция простых вырожденных уток близ точек самопересечения (утки присутствуют на рисунках в, г, д)

Предел всей положительной полутраектории может состоять из конечного или бесконечного числа склеивающихся между собой простых вырожденных уток (последнее справедливо, в частности, для уток-циклов); вопрос в том, как склеиваются между собой простые утки, решается с помошью так называемой «функции входа-выхода» (см. [73], [128], [73:2]).

5.4. Полулокальное явление: утки с релаксацией. Пусть при а-о медленная кривая имеет две точки складки Р и Q с одинаковой координатой уо, причем отрезок PQ не содержит других точек медленной кривой; пусть быстрое движение направлено от Р к Q. Изменим определение простой вырожденной утки, «вставив» между устойчивым и неустойчивым участками медленной кривой дополнительный отрезок фазовой кривой уравнения быстрых движений. Предположим, что при прохождении а через О /-координаты точек Р и Q проходят друг

через друга с ненулевой скоростью. Пусть в окрестности точек Р я Q функция g не обращается в нуль, причем знаки этой функции таковы, что медленное движение в окрестности Р направлено к точке Р, а в окрестности Q - от точки Q. В этих предположениях для уток с релаксацией (т. е. для нового определения простой вырожденной утки) справедливы аналоги теорем 1 и, по-видимому, 3. Эволюция уток с релаксацией показана на рис. 81, 82.

(\\\\\\

Рис. 81. Эволюция простых вырожденных уток с релаксацией (утки присутствуют на рисунках в), г), д)

Рис. 82. Эволюция простых вырожденных уток с релаксацией - второй вариант (утки присутствуют на рисунках в, г, д)

5.5. Утки в и R". В размерности 3 и выше у быстро-медленных уравнений с одной быстрой переменной утки существуют уже для уравнений общего положения (а не только для однопараметрических семейств уравнений, как в двумерном случае). Рассмотрим уравнение

л=/(л, у), у = 8й(л, у), ПЗе)

где xeR, y6R"-, пЗ.

Назовем простой вырожденной уткой ориентированную •связную кривую, состоящую из трех дуг: первая и последняя

суть интервалы фазовой кривой уравнения быстрых движений, а вторая есть кривая у, являющаяся объединением YiU{p}UT2. где р - критическая точка, а 71 и 72 - интервалы фазовых кривых медленного уравнения, расположенные соответственно на устойчивой и неустойчивой ветвях медленной поверхности (вначале проходится уи затем у). Если кривая у - гладкая (в точке р), то будем и утку называть гладкой.

Рис. 83. Утки в R проходящие через сложеииое седло (а) и сложенный

узел (б)

Медленное уравнение общего положения на двумерной поверхности в может иметь особенности трех типов: сложенные узлы, седла и фокусы (см. § 2). Вырожденные утки существуют только для сложенных седел и для некоторых сложенных узлов (рис. 83). В случае сложенного седла (при дополнительных условиях невырожденности, которые мы здесь явно не формулируем) справедлив аналог теоремы 1 [126]: для любой простой вырожденной утки, проходящей через сложенное седло, уравнение (13) имеет решение, фазовая кривая которого стремится к вырожденной утке при

В случае сложенного узла этот принцип впервые нарушается: не любая вырожденная утка служит пределом решений уравнения (13е).

Пример. Рассмотрим уравнение

(14е)

При Ь/а>8 медленное уравнение имеет в начале координат сложенный узел: при Ь>0 через этот узел проходят вырожден-