ные утки. Оказывается [127], что если отношение собственных чисел линеаризации медленного уравнения не является целым, то гладкая вырожденная утка служит пределом фазовых траекторий уравнения (Ие) в том и только в том случае, если ее дуга, лежащая на медленной поверхности, является дугой либо кривой Гь либо кривой Гг, где Г: и Гг - аналитические фазовые траектории медленного уравнения (см. рис. 83 6). В то же время в этом примере при некоторых значениях параметров а и b существуют негладкие вырожденные утки, служащие пределом фазовых траекторий (Ие).

Изучены также утки с релаксацией в [126]. Для гладких простых вырожденных уток в R" С. Н. Самборский [96] получил необходимые и достаточные условия существования такой малой (порядка е) деформации функций / и g в уравнении (13е), что у продеформированного уравнения имеется решение, сходящееся к заданной вырожденной утке при е->-0. Эти условия являются условиями сочленения в критической точке р и состоят в следуюещм: если касательная к y в точке р не вертикальна, то ё{р)фО, а если вертикальна, то д§/дх{р)ФО.

Заслуга открытия и исследования уток (1977) принадлежит группе французских и алжирских математиков, в которую входят Бенуа, Калло, Ф. Дьене, М. Дьене. Обзор и библиографию можно найти в работах ([73], [73 : 1]).

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Литература по теории бифуркаций необъятна; например, библиография в [133] содержит около 700 работ. Библиография из 4405 работ по динамическим системам собрана Шираивой (Bibliography of dynamical systems, march 1985, compiled by K- Shiraiva, dep. of math.. College of general education, Nagoya university, prepprint series 1985, № 1, Nogoya, 390 p). К сожалению, она весьма неполно представляет теорию бифуркаций, особенно ее ранний период (до 1970 г.).

А. Пуанкаре в своей диссертации, в работах по теории равновесия вращающейся жидкости и по небесной механике заложил неформальные основы теории бифуркаций, включая, например, теорию версальных деформаций и технику нормальных форм. Формальные основы теории бифуркаций заложены А. А. Андроновым и его учениками [1]-[9], исходившими в своих исследованиях из прикладных задач. В частности, ими подробно изучена бифуркация рождения цикла при потере устойчивости положением равновесия, по недоразумению называемая зачастую бифуркацией Хопфа. К сожалению, ранние работы А. А. Андронова [1], [4], [5], [6] недостаточно широко известны на Западе.

Н. Н. Семенов [98] и Я. Б. Зельдович [74] исследовали важные практические приложения теории бифуркаций общего положения, включая также семейства бифуркаций, то есть то, что теперь называется «несовершенными бифуркациями» [151].

К раннему периоду исследования бифуркаций рождения цикла и торов относятся работы Ю. И. Неймарка [87], Н. Н. Брушлинской [44], В. К- Мельникова [85], Сакера [91]. В работах В. К. Мельникова и Сакера была исправлена ошибка Неймарка, открывшего бифуркацию рождения тора при потере устойчивости автоколебанием, но пропустившего случаи сильного резонанса. В [85] и [191] были предсказаны «главные системы» и основные черты их

версальных деформаций в случае слабых и сильных резонансов порядка, отличного от 4. Современные формулировки опубликованы Такенсом в 1974 г. (его доказательства до сих пор не появились), а для резонансои 1:1 - В. И. Арнольдом и 1972 г. [19] (доказательства опубликованы Р. И. Богдановым [43]). Случаи сильного резонанса исследованы В. И. Арнольдом [21]. Доказательства для резонансов порядка, отличного от 4, опубликованы лишь Е. И. Хорозовым [104]. О бифуркациях автоколебаний вблизи резонанса

1 : 4 см. [20], [21], [41], [42 Н. Н. Брушлинская

[88].

45], [46] применила теорию бифуркаций торов к гидродинамическим уравнениям Навье - Стокса - область, ставшая модной лишь после того, как Рюэль и Такенс объявили о ее связи с турбулентностью [190] (см., впрочем, доклад А. Н. Колмогорова «Эксперимент и математическая теория в изучении турбулентности» и Н. Н. Брушлинской [46] на заседании Московского математического общества 18 мая 1965 г.). Обзор современного состояния теории бифуркаций торов, написанный Броером, см. в [129]. Бифуркация рождения цикла в гидродинамике исследовалась также В. И. Юдовичем [118] и подробно обсуждается в книге [173]. Эта книга ценна также обширным списком литературы. Ориентированное на вычислителя изложение теории и приложений бифуркации рождения цикла содержится в [160]. Бифуркации в распределенных системах и их приложения к теории горения обсуждаются в обзорах [54], [55]. О бифуркациях торов, рождающихся при потере устойчивости автоколебаний, см. [34], [123].

Анализ бифуркаций фазовых портретов в окрестности положений равновесия в типичных однопараметрических семействах многомерных систем был обоснован после того, как появилась общая теорема сведения А. Н. Шоши-тайшвили [117], сводящая исследование произвольных локальных семейств к исследованию их ограничений на центральное многообразие. Важно отметить, что типичность редуцированного семейства равносильна типичности исходного; это также доказано в [117]. Само существование центрального многообразия установлено ранее В. А. Плиссом [19: 70] (при отсутствии неустойчивого многообразия), а для общего случая - Кэли [173: 1] и Хиршем, Пью и Шубом, (1971) подробное изложение -в [162].

Бифуркации фазовых портретов вблизи положения равновесия в типичных диупараметрических семействах полностью исследованы для случая двух нулевых собственных значений Р. И. Богдановым [43]. Изучение бифуркаций в случае двух мнимых пар собственных значений или одного нуля и одной мнимой пары после перехода к амплитудам приводит к исследованию бифуркаций в,семействах векторных полей на плоскости с инвариантной парой прямых или инвариантной прямой соответственно. Трудности этого исследования оказались весьма значительными. После ряда попыток [19], [59], [60], [105], [157], [158] они были преодолены Жолондеком (п.п. 4.5, 4.6 главы 1 и [72]). Исследование бифуркаций фазовых портретов в локальном трехпара-метрическом семействе векторных полей, содержащем росток с двумя нулевыми собственными значениями особой точки н дополнительным вырождением в нелинейных членах, в основном проведено в [141], [119], в статье Ф. С. Березовской и А. И. Хибника в сборнике «Методы качественной теории дифференциальных уравнений» (Горький, 1985, 128-138), и закончено в препринте R. Roussarie, On the number of limit cycles which appear by perturbation of separatrix loop of planar vector feilds. Preprint, Universite de Bourgogne, 1986, 36 p.

Наибольшую сложность в исследованни бифуркаций положения равновесия на плоскости представляет задача о рождении предельных циклон. Как правило, основная часть решения этой задачи сводится к исследованию абе-левых или сходных с ними интегралов по фазовым кривым специальной гамильтоновой системы. Эти исследования проводятся либо чисто вещественными методами [43], [72], [88], либо с помощью выхода в комплексную область с применением теоремы Пикара - Лефшеца, теории эллиптических интегралов и уравнений Пикара -Фукса [75], [76], [93], [104], [119], [141], [193].

«Опасные» и «безопасные» участки границы устойчивости исследованы Н. Н. Баутиным [35] (см. также [37]). Величина «опасных» н «безопасных»

уклонений от границы устойчивости вблизи всех ее стратой до коразмерности 3 включительно оценена Л. Г. Хазиным и Э. Э. Шнолем [103].

Нормальные формы локальных векторных полей и диффеоморфизмов (по отношению к аналитическим, гладким и, прежде всего, конечногладким заменам) исследованы в [26:18], [38 , 39], [64], [77], [97], [202]. Об универсальности Фейгенбаума см. обзор [57 и книгу [135], где указана обширная библиография.

.Ранний период исследования нелокальных бифуркаций векторных полей на плоскости и сфере подытожен в [9], [36]. Структурная устойчивость п бифуркации векторных полей на диумерных поверхностях, отличных от плоскости и сферы, исследованы сравнительно недавно [185], [199] - [201]. С гипотезой о глобальных бифуркациях в однопараметрических семействах векторных полей на сфере (п. 2.2, гл. 3) тесно связана работа [169].

Нелокальные бифуркации многомерных систем исследованы, в основном, математиками школы А. А. Андронова. О бифуркациях гомоклинических траекторий негиперболического седла см. работы Л. П. Шильникова [109], [ПО], [113]. О бифуркациях гомоклинических траекторий негиперболического цикла см. [28], [31], [33], [180], гиперболического седла -[111], [112], [114], [147]. О бифуркациях контуров (на Западе называемых циклами) см. [30], [58], [62], [66], [139], [176]-[178], [180], [183]. Нелокальным бифуркациям в типичных двупараметрических семействах посвящены работы [49], [50], [65] - [67], [80], [81]. О цепочке бифуркаций, приводящих от точечного аттрактора к аттрактору Лоренца, см. [29], [101], [173]. О различных понятиях аттрактора см. [100], [101], [158], [173], [174], [181], [198].

Существенное значение для нелокальной теории бифуркаций имеет дифференциальная динамика [181], [198] и символическая динамика (в качестве общей ссылки укажем книгу В. М. Алексеева [14 : 1]).

Термин «релаксационные колебания» введен Ван дер Полем [206]. Ранний период развития теории релаксационных колебаний подытожен в [3], где содержатся многочисленные приложения. Обсуждению связи медленных движений в системах релаксационного типа с истинными движениями посвящены работы А. Н. Тихонова, А. Б. Васильевой и И. С. Градштейна [102], [53], [68]. Об асимптотике решений вблизи момента срыва см. работы Л. С. Понтрягииа, Е. Ф. Мищенко, Н.. X. Розова и других [94], [86], [70]. Явление затягивания потери устойчивости в аналитической быстро-медленной системе при переходе пары собственных значений особой точки уравнения быстрых движений через мнимую ось описано на примере в работе ученицы Л. С. Понтрягина М. А. Шишковой [116]. Для уравнений общего положения это явление исследовано А. И. Нейштадтом [90].

Решения-утки быстро-медленных систем открыты и исследованы в работах J126] -[128], [96]; см. также обзор [73].

В качестве примера работы о стохастизации релаксационных колебаний укажем статью Н. Н. Ченцовой [106].

О применении метода усреднения в теории релаксационных колебаний см. Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебагай. М.: Наука, 1974, 503 с.

Мы остаиили в этом обзоре в стороне обширную и быстро развивающуюся теорию бифуркаций систем с симметриями. Обилие разнообразных групп симметрии и их приложений, а также распространенность задач с симметриями в приложениях делают эту область очень привлекательной: здесь уже прн малом числе параметров типичны сложные бифуркационные диаграммы. С современным состоянием этой теории можно ознакомиться по статьям и книге Голубицкого и Шеффера [150-153]; см. такке [136], [145], 1146], [148], [149], [195]-[197].

ЛИТЕРАТУРА

1. Андронов А. А., Математические проблемы теории автоколебаний. В кн.: Первая Всес. конф. по автоколебаниям. МЛ ГТТИ, 1933, 32-71

2. -, Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1956, 538 с.

14-30 209