лишь такие ростки с нулевой линейной частью в особой точке, 3-струя которых имеет вид, указанный в таблице 2 (многоточием обозначены несущественные члены). Деформации таких ростков в типичных двупараметрических Хг-эквивариантных семействах эквивалентны главным деформациям и версальны.

Таблица 2

Замечания. 1. Топологическое различие главных семейств (9) при а=-1 и а=-3 наблюдается только при нулевом значении параметра: см., с одной стороны, рис. 13 и, с другой стороны, рисунки- 14 6, 14 е, отличающиеся структурой множества 0-кривых.

Рис. 12, Локальные фазовые портреты главных Хг-эквивариантиых векторных полей, соответствующих нулевому значению параметра, при бифуркаци» которых рождаются циклы

2. Уравнения семейства (9) в достаточно малой окрестности нуля (по X, Z VL г) не имеют предельных циклов, уравнения семейства (8) - не более одного цикла.

3. В исследовании семейства (8) при а=-1 существенно-

указание формы окрестности:

{X, Г)67б={4-- + г2<62, e2-Ue2<;g2.

предыдущая теорема для этого случая справедлива при любом достаточном малом б. Форма окрестности существенна потому, что в рассматриваемом семействе происходит специфическая бифуркация: выход предельного цикла на границу области С/ц при сколь угодно малых значениях параметров. Эта бифуркация происходит на кривой Л (рис. И для а=-1).

4. Подчеркнем еще раз, что в типичных двупараметрических семействах, состоящих из 52-эквивариантных векторных полей, встречаются только такие ростки, представители которых в некоторой окрестности нуля, общей для всех ростков семейства, имеют не более одного предельного цикла. Эта часть теоремы Жолондека - наиболее содержательный и трудно доказываемый факт (Гукенхеймер и Холмс [158, стр. 352] ошибочно утверждают, что бывает два цикла.) Аналогичные результаты (но без доказательства теоремы о числе циклов) были получены Н. К. Гавриловым [59].

4.5. Две чисто мнимых пары. Рассмотрим векторное поле с двумя парами чисто мнимых собственных значений в особой точке О пространства R. Редукции п. 3.4 приводят к следующей задаче: изучить бифуркации фазовых портретов в типичных двупараметрических семействах в четверти плоскости хО, уО (поле касается осей координат):

ххА(х,у),

у=уВ(х,у).

Системы (10) встречаются также в экологии (модели типа Лотка-Вольтерра), где ограничение хО, вызвано ре-

альным смыслом фазовых переменных (величины популяций хищника и жертвы).

Комментарий. Двумерная система (10) получается из четырехмерной системы с двумя мнимыми парами собственных чисел следующим образом: х означает квадрат модуля первой, а у - второй (комплексной) координаты после приведения системы к нормальной форме Пуанкаре-Дюлака. В предположении несоизмеримости частот (отношение различных по модулю чисто мнимых собственных значений иррационально) резонансные члены выражаются через х к у; поэтому нормальная форма факторизуется до указанной двумерной системы.

Возникающая задача о векторных полях в четверти плоскости формально эквивалентна задаче о векторных полях на плоскости, переходящих в себя при отражении плоскости в каждой из осей. Действительно, обозначая через х я у квадраты координат, мы приведем соответствующее полю уравнение к виду (10).

Рис. 13. Бифуркации Хг-эквивариантных векторных полей (циклы не рождаются)

Бифуркации В типичных двупараметрических семействах (Ш) изучены лишь недавно (Жолондек, 1985)". Получены следующие результаты. В типичном двупараметрическом семействе систем (10) функции А и В одновременно обращаются в О в нуле лишь при отдельных значениях параметров. Рассмотрим такое значение параметров, скажем, нулевое, и запишем систему в виде

) Частные результаты получены в работах [19], [60], [105], [157], [158] и В. И. Швецовым в дипломной работе, МГУ, 1983, 15 с.