считать, что трёхгранные (га-гранные) углы, на которые эти плоскости делят пространство, переходят каждый в себя (рис. 18). Из теоремы Дирихле о единицах в алгебраической теории чисел следует, что парус каждого такого га-гранного угла обладает группой симметрии, порождённой га - 1 коммутирующими преобразованиями, сохраняющими и решётку целых точек, и наш га-гран-ный угол.

Из этого видно, что парус в трёхмерном пространстве двояко периодичен (подобно карте тора): каждая грань повторяется бесконечное число раз, подобно бесконечному числу изображений кошки на карте тора (рис. 19). Простейшие примеры таких парусов описаны в работе [10].

Таким образом, двумерные цепные дроби, соответствующие кубическим иррациональностям, двояко периодичны, хотя обычные цепные дроби подобных чисел (соответствующие блуждающим по этой двояко периодической поверхности путям) кажутся хаотическими и периодичности не проявляют.

Обратно, из топологической периодичности комбинаторного строения паруса следует происхождение конуса из линейного преобразования и связь паруса с алгебраическим «собственным числом», степень которого равна размерности пространства. Эти обобщения теории Лагранжа (соответствующей случаю га = 2 и обычной периодичности) описаны в статьях [4] и [5].

Цушиаши доказал топологическую периодичность алгебраического паруса. Его доказательство основано на теореме Дирихле о единицах из алгебраической теории чисел. Его теория распространяется и на случай «комплексных собственных чисел», когда некоторые из инвариантных гиперплоскостей линейного преобразования комплексны.

Коркина доказывает алгебраическое происхождение топологически периодического паруса. В случае обычных цепных дробей это - более лёгкая часть теоремы Лагранжа, но для многомерных дробей соотношение обратное (и подробное доказательство теоремы Корки-ной ещё не опубликовано).

В многомерном случае, впрочем, остался открытым уже вопрос о том, каким триангуляциям тора и каким наборам «целых точек» на гранях этих триангуляции соответствуют разбиения парусов алгебраических иррациональностеи на выпуклые грани. Этот вопрос открыт уже для двумерных торов и кубических иррациональностеи. (Для одномерных дробей вопроса нет: периодом может быть любая последовательность целых чисел.)

Обобщение статистики элементов цепной дроби

Придя к многомерным цепным дробям при попытке классифицировать градуированные коммутативные ассоциативные алгебры (см. [6] и [7]), я в 1989 году сформулировал вопросы о статистиках таких характеристик паруса случайного га-гранного угла в га-мерном пространстве, как доля треугольных, четырёхугольных и т. д. граней, их целочисленные площади, целочисленные длины рёбер, числа рёбер, выходящих из одной вершины, и т. п. Будет ли, например, на двумерном парусе больше треугольных граней, чем четырёхугольных, будет ли число целых точек на его ребре в среднем больше или меньше, чем для рёбер одномерных или трёхмерных случайных парусов, или чем для случайных отрезков, соединяющих целые точки (в пространствах разных размерностей).

Насколько я знаю, все эти вопросы остаются открытыми и сегодня. Но Ю. М. Сухов и М. Л. Концевич, которым я их сообщил, сумели доказать, что ответы на все подобные вопросы существуют: искомые статистики средних по растущим конечным частям паруса универсальны (не зависят от исходного симплициального угла) для почти всех симплициальных га-мерных углов (в смысле меры Лебега) и допускают описание в терминах эргодической теории динамических систем с (га - 1)-мерным временем, хотя вычисление ответов (подобных распределению Гаусса) наталкивается на трудности, связанные с суммированием рядов из «полилогарифмов».

Для получения этих результатов Сухов и Концевич перевернули мою задачу: вместо того, чтобы, фиксировав решётку целых точек Z" в га-мерном пространстве М", исследовать статистику паруса случайного га-гранного угла с вершиной в начале координат, они фиксируют угол (т. е. систему координат в М", для которой гиперплоскости угла являются координатными) и случайно выбирают решётку (порождённую га векторами е, е„, определяющими параллелепипед объёма 1).

Все такие упорядоченные наборы га векторов образуют группу SL(ra,]R) вещественных матриц порядка га с определителем 1. Размерность ЭТОГО гладкого подмногообразия пространства М" равна га - 1. Но (упорядоченный) набор га векторов - не то же самое, что порождённая им решётка: одну решётку можно получить из разных наборов. Например, можно заменить вектор eg на e-l-eg - решётка ОТ ЭТОГО не изменится. Все такие выборы базиса в решётке образуют группу SL(ra,Z) целочисленных матриц в SL(ra,]R). Многообразие решёток - ЭТО факторпространство М = SL(ra,]R)/SL(ra,Z),

образованное наборами базисных векторов, рассматриваемых с точностью до перевыбора базиса.

Теория динамических систем с (га -1)-мерным временем Н применяется теперь к действию на (га - 1)-мерном «фазовом пространстве» М группы диагональных матриц с определителем 1 (она называется «картановской подгруппой» Н в 8Цга,М)). Это действие оказывается эргодическим (подобно действию преобразования X {1/х} в теории Гаусса). Орбита точки под влиянием этого действия размазана по М (подобно окрошке, получаюш;ейся из кошки, размазанной по тору). Нужные нам статистические характеристики паруса выражаются в терминах геометрии этой размазанной орбиты.

А именно, рассмотрим «диагональный вектор» (1,1) в нашей системе координат. Точка из М (т. е. решётка) называется специальной, если определённая диагональным вектором прямая пересекает парус, соответствуюш;ий точке из М, в точке, принадлежаш;ей грани паруса, размерность которой меньше га - 1 (не в обш;ем положении). Специальные точки образуют гиперповерхность (размерности га - 2) в (га - 1)-мерном многообразии М всех решёток в га-мерном пространстве. Свойства паруса выражаются в терминах пересечения орбиты картановской подгруппы if с этой гиперповерхностью: разбиение орбиты на части, разделённые гиперповерхностью, моделирует разбиение паруса на его выпуклые грани.

К сожалению, даже такие свойства этой гиперповерхности, как гомологии её дополнения, след которого на орбите определяет грани паруса, еш;ё не вычислены.

Об этих теориях можно узнать из книжки [8].

Цепные дроби и градуированные алгебры

Полной неожиданностью для меня было появление цепных дробей при моей попытке изобрести вовсе ни с чем не связанную, ни для чего не нужную неинтересную математическую теорию, начавши, по образцу алгебраистов или бурбакистов, с произвольных аксиом.

Коммутативная градуированная ассоциативная алгебра (над полем веш;ественных или комплексных чисел) есть прямая сумма векторных пространств «однородных элементов степени d», снабжённая операцией умножения, при которой степени однородных сомножителей складываются (как это происходит с многочленами и обычной степенью однородных составляюш;их).