Площадь параллелограмма, натянутого на векторы и ё, равна

Qk Рк Як+1 Рк+1

Основное утверждение теории цепных дробей: Теорема. = (-1)*+ (к>1).

Действительно, мы показали, что = +1 и знак каждый раз меняется, поэтому = (-1)* или =(-1)*"" для всех fe; при этом = 1.

Следствие. Дробь является невероятно хорошим приближени-

ем для нашего числа а. Формула

а, k>3.

даёт точность порядка .

Доказательство. Мы докажем более точное неравенство, из которого это следует. Прямая у = ах проходит внутри параллелограмма, порождённого векторами и е+[: один из них ниже этой прямой, другой выше (какой именно - зависит от чётности к). Следовательно,

потому что угол между прямой и вектором не больше угла между векторами и (рис. 6). Далее,

Рк+1 Рк Чк+1 Чк

\Pk4k+i-4kPk+i\ - 1

\ЧкЧ,

к+1\

ЧкЧк+1

Рис. 6

поскольку \Pk<lh+i~1hPh+i \ = l-fel = 1 ПО доказаннойтеореме, ag-ft иg-ft+j положительны. Значит,

ЧкЧк+1 ч1

потому что gft+i > qt. Точность приближения а- лучше, чем --,

Чк ЧкЧк+1

и заведомо лучше, чем \. Вот почему цепные дроби дают такую боль-

шую точность приближений.

ТЕОРЕМА КУЗЬМИНА

В физике цепные дроби впервые появились в астрономических исследованиях. Они используются не только при создании календаря, но и при вычислении затмений, движения планет и других перио-дичностей, которые появляются в небесной механике. При описании соизмеримости частот различных периодических движений, например кеплеровских движений планет, астрономы встретились с необходимостью знать хорошие рациональные приближения к этим, во-обш;е говоря, иррациональным числам. При этом особенное значение имело, насколько хорошо можно приблизить число, вообш;е говоря иррациональное, рациональной дробью с не очень большим знаменателем. Слишком близкое приближение называется резонансом и может привести к сильному возмуш;ению одной планетой движения другой.

Рассмотрим такую модель. Пусть две планеты вращаются вокруг «Солнца» по концентрическим окружностям в одну сторону. Если отношение периодов их обра-пений вокруг «Солнца» с большой точностью равно рациональному числу, скажем, -Y, то эти две планеты будут оказываться на маленьком расстоянии (минимальном возможном) друг от друга вблизи трёх фиксированных точек (рис. 7). При маленьком расстоянии, как известно, наибольшая гравитация, так что орбиты обеих планет будут испытывать сильные деформации лишь в трёх направлениях. Планеты при этом как бы «сталкивают» друг друга с орбит.

Совсем другое дело, если отношение периодов обращений планет с большой точностью - рациональное число с большим знаменателем. Пусть оно равно, скажем, . Тогда «точек большой гравитации» 549, и взаимное влияние («сталкивание») планет более «размазанное».

Поэтому астрономы очень рано (этим интересовались еш;ё Ньютон и Кеплер) поставили себе вопрос, какие же практически величины этих, как говорят, неполных частных (элементов) цепной дроби, т. е. если

а = ао -Ь

1 * "/

v \, W" й / наскольковеликичислаад, а 1, ttg,ее личное о ело а - просто случайное веш;ественное число. Если какое-нибудь число, например ug, ---очень велико, скажем миллион, то прибли-

жение а я; UQ -Ь - (которое получится, если

оборвать дробь перед аг) будет колоссально точным. Если же например, всего только 2, то погрешность будет довольно большой. По-

этому вопрос о том, возрастают ли эти коэффициенты, и с какой скоростью они возрастают, имеет реальное астрономическое значение для судьбы Вселенной, для судьбы Солнечной системы, для судьбы нашей цивилизации.

Первое математическое исследование этого важного вопроса принадлежало, вероятно, астроному X. Гильдену, который опубликовал его в докладах Парижской академии наук в 1888 году [1]. Я думаю, что это была экспериментальная работа, потому что астрономы исследовали отношения частот различных планет, больших и малых, и знали коэффициенты этих отношений, не очень много, но знали. И Гильден привёл таблицы, из которых можно узнать, насколько велики числа ttj.

Теорема, которая дала окончательный ответ на этот вопрос, называется теоремой Кузьмина, хотя, по-видимому, доказана великим шведским математиком А. Виманом, опубликовавшим в 1900 году в трудах Стокгольмской Королевской академии наук мемуар [2], в котором он доказывал эту теорему (Р. О. Кузьмин доказал её только в 1928 году). К сожалению, ни Кузьмин, ни, по-моему, кто-либо другой не прочитал работу Вимана, потому что длина этой работы 300 страниц. Для меня эта работа до сих пор загадка, я не знаю, что в ней содержится, есть ли в ней формулировка теоремы Кузьмина, есть ли доказательство.

Доказательство теоремы Кузьмина можно найти в книжке А. Я. Хинчина про цепные дроби [3], которая, в основном, и посвя-ш;ена доказательству этой теоремы.

Основное открытие для этой теоремы сделал Гаусс. Хотя он, по-видимому, не только не доказывал, но и не формулировал этой теоремы, он нашёл ответ - указал вероятность того, что какое-то из чисел ttj равно 1, 2, 3, ... Эти вероятности даёт формула Гаусса. Но как Гаусс нашёл эту формулу и какой он ей придавал смысл, тоже остаётся тайной.

Вероятность определяется так: надо взять числа а, а, а„ (это целые положительные числа), посмотреть, сколько среди них, например, единиц, разделить на га и устремить га к бесконечности. Оказывается, этот предел при почти всех а суш;ествует и равен одному и тому же числу. Это число и называется вероятностью Pi появления единицы.

Теорема Кузьмина утверждает, что вероятность появления числа к даётся следуюш;ей формулой: