целые числа t> s, такие что MTq = MTq . Следовательно, М"*Гд = Гд, так что решётка, порождённая векторами е и /, отображается на себя преобразованием М~*, растягиваюш;им прямую у = ах, т. е. прямую у = ах.

Стало быть, цепная дробь для числа а периодична, начиная с некоторого места, поскольку а - коэффициент наклона прямой, растягиваемой сохраняюш;им решётку Гд линейным преобразованием плоскости, вычисляемый по отношению к базису {e,f} этой решётки.

Из доказанной теоремы видно, что для доказательства периодичности (начиная с некоторого места) цепной дроби любой квадратичной иррациональности а достаточно представить а в виде дробно-линейного целочисленного образа

квадратичной иррациональности

а=--, е = +1

специального вида, для которой всё уже доказано. Но всякая квадратичная иррациональность легко преобразуется к виду с целыми и, V, п, поэтому достаточно для каждого целого числа га, не являю-ш;егося полным квадратом, найти такого представителя чисел этого класса с данным га, который был бы коэффициентом наклона прямой, растягиваемой сохраняюш;им решётку целых точек преобразованием.

Пример 1. Пусть га = 2. Число а = л/2 -Ь1 удовлетворяет уравнению -=V2 - 1,т. е.а = 2-1--, откуда

а = 2+ К , V2 = l+ К .

Тем самым, периодичность цепной дроби устновлена для всех квадра-

Ал/2+Б

тичных иррациональностеи вида =

Ci2 + D

Пример 2. Пусть га = 3. При р = 2, е = 1 формула (3) даёт а 2 V3. Это доказывает периодичность цепных дробей для всех а! =

аУз+д

Пример 3. Пусть га = 5. При/> = 2, е = -1 формула(3) доставляет а = 2 + л/5. Это доказывает периодичность цепных дробей для всех

, AiE + B Ci5 + D

Пример 4. Пусть га = 6. При р=5, е = 1 находим а=5 + 2л/б.

тт / Ал/б + Б

Получаем периодичность для а = уд •

Пример 5. При га = 7,/> = 8, е = 1 получаем а = 8-1-Зл/7 и периодичность для а = д •

Пример 6. При п = 8, р = 3, е = 1 получаем а = 3 -Ьл/8 и периодичность для а = ~В (что можно было бы получить и исходя из

уже изученного случая га = 2).

Пример 7. При га = 10,/> = 3, е =-1 получаем а = ЗЧ-л/ТО и пе-

, AilO + B риодичность для а = уд •

Пример 8. При га= 11,/>= 10, е= 1 получаем а = ЮЧ-Зл/ГТ и

периодичность для а = -.

Сл/IT + D

Совершенно таким же образом для преодоления иррациональностей с л[п достаточно найти нетривиальное {q 0) целое решение (р, q) одного из двух уравнений

л1р-г = qin, е = +1.

Т. е. одного из двух уравнений, первое из которых несправедливо называется уравнением Пел ля,

р -nq = 1, p-nq = -l.

Теорема. Для любого целого числа га, не являюш;егося полным квадратом целого числа, уравнение Пелля имеет нетривиальное (q 0) целочисленное решение*).

Периодичность (начиная с некоторого места) цепных дробей всех

иррациональных чисел вида " с целыми А, B,C,D (при AD ВС)

следует отсюда, как это доказано выше.

*) Доказательство этой теоремы приведено, например, в брошюре [11].

Вот несколько решений простейших уравнений Пел ля:

МНОГОМЕРНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

Геометрия чисел позволяет перенести многие построения теории цепных дробей на «многомерные цепные дроби», когда плоскость заменяется га-мерным (например, трёхмерным) пространством М", снабжённым решёткой Z" целых точек, а прямая заменяется симплици-альным конусом с вершиной в начале координат (в трёхмерном пространстве это трёхгранный угол).

Целые точки, расположенные строго внутри конуса, образуют полугруппу, а их выпуклая оболочка ограничена многогранной поверхностью (с бесконечным, как правило, числом граней). Геометрия этой многогранной поверхности (называемой парусом исходного конуса) и является многомерным обобш;ением теории цепных дробей (в которой роль паруса играет ломаная алгоритма вытягивания носов, рис. 1).

Теория многомерных цепных дробей довольно молода, и я приведу лишь очень немногие результаты.

Обобщение теоремы Лагранжа

Рассмотрим целочисленное сохраняюш;ее объёмы линейное преобразование пространства М", имеюш;ее га инвариантных гиперплоскостей (простейший пример - отображение в М, которое задаётся матрицей

3 2 1 \

2 2 1 111/

точка (х,у,2) переходит в (Зх + 2у + 2, 2х + 2у + 2, x + y + z)). Будем